השורש הריבועי של 3

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

השורש הריבועי של 3, אשר מסומן כ-3 או 31/2, הוא המספר הממשי החיובי שכאשר יוכפל בעצמו, תהיה התוצאה שווה ל-3. השורש הריבועי של 3 הוא מספר אי רציונלי. הוא ידוע גם בתור הקבוע של תיאודורוס, על שם תיאודורוס מקירנה, שהוכיח את האי-רציונליות שלו.

נכון לדצמבר 2013, חושבו 10 מיליארד ספרות של 3.[1] 65 הספרות הראשונות של 3:

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

הספרות של 3 הן סדרה A002194 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים.

השבר9756 (1.732142857...) הוא קירוב לשורש - הוא שונה מהערך הנכון בפחות מ-110,000 (בערך9.2×105).

השבר 716035413403 (1.732 050 807 56...) הוא מדויק בכ-1100000000000 (11011).

ארכימדס חישב טווח עבור הערך של השורש: (1351780)2>3>(265153)2;[2] הגבול התחתון מדויק עבור 1608400 (6 ספרות אחרי הנקודה) והגבול העליון עבור 223409 (4 ספרות אחרי הנקודה).

ביטויים

ניתן לבטא אותו כשבר משולב [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (סדרה A040001 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים).

ולכן ניתן לומר כי:

[1213]n=[a11a12a21a22]

וכאשר n:

3=2a22a121

ניתן לבטא אותו גם כשבר משולב מוכלל כגון:

[2;4,4,4,...]=2141414

גיאומטריה וטריגונומטריה

הגובה של משולש שווה-צלעות בעל אורכי צלעות 2 הוא 3. בנוסף, אורך הניצב הארוך במשולש זהב (משולש בעל זוויות 30, 60 ו-90) שאורך היתר שלו הוא 2 הוא 3.
יתר על כן, הגובה במשושה משוכלל שאורכי צלעותיו הוא 1 הוא 3.
אורך האלכסון בקוביית יחידה הוא 3
היטל זה של תריסריון בילינסקי הוא מעוין עם יחס אלכסוני של 3.
וסיקה פיסקיס

ניתן למצוא את השורש הריבועי של 3 כאורך הצלעות של משולש שווה-צלעות החוסם מעגל בקוטר 1.

אם משולש שווה-צלעות בעל צלעות באורך 1 נחתך לשני חצאים שווים, על ידי חציית זווית פנימית כדי ליצור זווית ישרה עם הצלע שמולה, היתר של המשולש ישר-הזווית הוא באורך 1 ואורכן של הצלעות הוא 12 ו-32. מכאן, טנגנס של 60° שווה ל-3, והסינוס של 60° והקוסינוס של 30° שווים ל-32.

השורש הריבועי של 3 מופיע גם בביטויים אלגבריים עבור קבועים טריגונומטריים אחרים, כולל[3] הסינוסים של 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° ו-87°.

3 הוא המרחק בין צלעות מקבילות של משושה משוכלל בעל צלעות באורך 1.

זהו אורך האלכסון הפנימי של קוביית יחידה.

לווסיקה פיסקיס יש יחס בין הציר העיקרי לציר הקטן השווה ל-3:1. ניתן להראות זאת על ידי בניית שני משולשים שווי-צלעות בתוכו.

שימושים אחרים

הנדסת הספק

בהנדסת הספק, המתח בין שתי פאזות במערכת תלת-פאזית הוא פי 3 מהמתח לקו הנייטרלי. הסיבה לכך היא שכל שתי פאזות נמצאות במרחק של 120° זה מזה, ושתי נקודות במעגל המרוחקות 120 מעלות זו מזו מופרדות במרחק שגדול פי 3 מהרדיוס.

ראו גם

הערות שוליים

  1. Łukasz Komsta. "Computations | Łukasz Komsta". komsta.net. נבדק ב-24 בספטמבר 2016. {{cite web}}: (עזרה)
  2. Knorr, Wilbur R. (1976), "Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation", Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115–140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462, S2CID 120954547.
  3. Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא השורש הריבועי של 3 בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

השורש הריבועי של 333810739Q1150815