השורש הריבועי של 3

השורש הריבועי של 3, אשר מסומן כ-$\sqrt{3}$ או 3^1/2, הוא המספר הממשי החיובי שכאשר יוכפל בעצמו, תהיה התוצאה שווה ל-3. השורש הריבועי של 3 הוא מספר אי רציונלי. הוא ידוע גם בתור הקבוע של תיאודורוס, על שם תיאודורוס מקירנה, שהוכיח את האי-רציונליות שלו.

נכון לדצמבר 2013, חושבו 10 מיליארד ספרות של $\sqrt{3}$. 65 הספרות הראשונות של $\sqrt{3}$:

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

הספרות של $\sqrt{3}$ הן סדרה A002194 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים.

השבר9756 (1.732142857...) הוא קירוב לשורש - הוא שונה מהערך הנכון בפחות מ-110,000 (בערך$9.2\times 10^{-5}$).

השבר 716035413403 (1.732 050 807 56...) הוא מדויק בכ-1100000000000 ($\frac{1}{10^{11}}$).

ארכימדס חישב טווח עבור הערך של השורש: ${\left(\frac{1351}{780}\right)}^2>3>{\left(\frac{265}{153}\right)}^2$; הגבול התחתון מדויק עבור 1608400 (6 ספרות אחרי הנקודה) והגבול העליון עבור 223409 (4 ספרות אחרי הנקודה).

ביטויים

ניתן לבטא אותו כשבר משולב [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (סדרה A040001 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים).

ולכן ניתן לומר כי:

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

וכאשר $n\to \mathrm{\infty }$:

$\sqrt{3}=2\cdot \frac{a_{22}}{a_{12}}-1$

ניתן לבטא אותו גם כשבר משולב מוכלל כגון:

$[2;-4,-4,-4,...]=2-\frac{1}{4-\frac{1}{4-\frac{1}{4-\ddots }}}$

גיאומטריה וטריגונומטריה

הגובה של משולש שווה-צלעות בעל אורכי צלעות 2 הוא $\sqrt{3}$. בנוסף, אורך הניצב הארוך במשולש זהב (משולש בעל זוויות 30, 60 ו-90) שאורך היתר שלו הוא 2 הוא $\sqrt{3}$.

יתר על כן, הגובה במשושה משוכלל שאורכי צלעותיו הוא 1 הוא $\sqrt{3}$.

אורך האלכסון בקוביית יחידה הוא $\sqrt{3}$

היטל זה של תריסריון בילינסקי הוא מעוין עם יחס אלכסוני של $\sqrt{3}$.

וסיקה פיסקיס

ניתן למצוא את השורש הריבועי של 3 כאורך הצלעות של משולש שווה-צלעות החוסם מעגל בקוטר 1.

אם משולש שווה-צלעות בעל צלעות באורך 1 נחתך לשני חצאים שווים, על ידי חציית זווית פנימית כדי ליצור זווית ישרה עם הצלע שמולה, היתר של המשולש ישר-הזווית הוא באורך 1 ואורכן של הצלעות הוא $\frac{1}{2}$ ו-$\frac{\sqrt{3}}{2}$. מכאן, טנגנס של 60° שווה ל-$\sqrt{3}$, והסינוס של 60° והקוסינוס של 30° שווים ל-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

השורש הריבועי של 3 מופיע גם בביטויים אלגבריים עבור קבועים טריגונומטריים אחרים, כולל הסינוסים של 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° ו-87°.

$\sqrt{3}$ הוא המרחק בין צלעות מקבילות של משושה משוכלל בעל צלעות באורך 1.

זהו אורך האלכסון הפנימי של קוביית יחידה.

לווסיקה פיסקיס יש יחס בין הציר העיקרי לציר הקטן השווה ל-$\sqrt{3}$:1. ניתן להראות זאת על ידי בניית שני משולשים שווי-צלעות בתוכו.

שימושים אחרים

הנדסת הספק

בהנדסת הספק, המתח בין שתי פאזות במערכת תלת-פאזית הוא פי $\sqrt{3}$ מהמתח לקו הנייטרלי. הסיבה לכך היא שכל שתי פאזות נמצאות במרחק של 120° זה מזה, ושתי נקודות במעגל המרוחקות 120 מעלות זו מזו מופרדות במרחק שגדול פי $\sqrt{3}$ מהרדיוס.

ראו גם

• השורש הריבועי של 2

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא השורש הריבועי של 3 בוויקישיתוף

• הקבוע של תיאודורוס ב-MathWorld

• S., D.; Jones, M. F. (1968). "22900D approximations to the square roots of the primes less than 100". Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
• Uhler, H. S. (1951). "Approximations exceeding 1300 decimals for $\sqrt{3}$, $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\sin (\frac{\pi }{3})$ and distribution of digits in them". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
• Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Revised ed.). London: Penguin Group. p. 23.
• Archimedes and the Square Root of 3
• Department of Mathematics | King’s College London

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

השורש הריבועי של 333810739Q1150815