אינטגרל גאוסיאני

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

אינטגרל גאוסיאני הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:  12πσ2e(xμ)22σ2dx והכללותיו. באופן עקרוני, החלק הלא טריוויאלי באינטגרל זה הוא האינטגרל:  ex2dx וברגע שיודעים לפתור אותו קל לפתור גם את האינטגרל הכללי יותר שמופיע למעלה.

אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול-בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, אוסצילטור הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא אמיתי). האינטגרל קרוי על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס.

גאוסיאן במשתנה אחד

הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כדלהלן:  +eax2bxcdx=πaeb24ac4a=πaexp(b24ac4a),a>0

הוכחת הנוסחה

את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:

  1. מחשבים את +ex2dx
  2. מחשבים את +eax2dx באמצעות החלפת משתנים.
  3. מחשבים את +eax2bxcdx באמצעות השלמה לריבוע.

שלב 1

קודם נראה שהאינטגרל מתכנס: 0<ex2dx11ex2dx+1ex2dx+1+ex2dx11ex2dx+1xex2dx+1+xex2dx< שכן עבור |x|>1 מתקיים ex2<|x|ex2 והאינטגרלים 1xex2dx=[ex22]1=e12=12e והמקביל לו מתכנסים.

שנית, נציב I=+ex2dx, נכפול את  I באותו אינטגרל: I2=+ex2dx+ey2dy.

מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים ש  I2=e(x2+y2)dxdy. נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור  xy. נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות  r,ϕ כאשר  r2=x2+y2 ו- ϕ היא הזווית בין  r לציר ה- x.

את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של הטרנספורמציה  dxdy=rdrdϕ, ומקבלים ש- I2=02π0er2rdrdϕ.

את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים ש- I2=0er2rdr02πdϕ=2π0er2rdr=π0er22rdr. כעת נשים לב ש- (r2)=2r, ולכן  ddrer2=er22r, ולכן  I2=π[er2]0=π(0(1))=π.

לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים  I=π או לסיכום: I=+ex2dx=π

שלב 2

מבצעים את החלפת המשתנים הבאה:  y2=ax2 , y=ax , dx=dya

ואז: +eax2dx=1aey2dy=πa

שלב 3

ההשלמה לריבוע:

 ax2bxc=a(x+b2a)2+b24ac

האינטגרציה על הריבוע נותנת  π/a ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.

הערות נוספות

יש לציין שהפונקציה עליה מחושב האינטגרל היא פונקציה זוגית ולכן

 ex2dx=20ex2dx

ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של  x,

0x2nex2/a2dx=π(2n)!n!(a2)2n+10x2n+1ex2/a2dx=n!2a2n+2

אינטגרל גאוסיאני במספר משתנים

אינטגרל של n משתנים בתבנית ביליניארית:

exp(12Aijxixj)dnx=(2π)ndetA

כאשר A היא מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.

אינטגרל גאוסיאני עם מקדם מדומה

כאשר המקדם של x2 הוא ±i=1 עדיין אפשר לחשב את האינטגרל. השיטה הנכונה היא לבצע זאת באמצעות מסילה במישור המרוכב. מקבלים:

  • eix2dx=(1i)π2
  • e+ix2dx=(1+i)π2

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אינטגרל גאוסיאני40460460Q1060321