אינטגרל גאוסיאני

אינטגרל גאוסיאני (על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס) הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:

\int \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d x

והכללותיו. באופן עקרוני, החלק הלא-טריוויאלי באינטגרל זה הוא האינטגרל

\int e^{- x^{2}} d x

וברגע שיודעים לפתור אותו קל לפתור גם את האינטגרל הכללי יותר המופיע למעלה.

אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול-בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, מתנד הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא-אמיתי).

גאוסיאן במשתנה אחד

הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כלדהלן:

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- (a x^{2} + b x + c)} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}}, a > 0

הוכחת הנוסחה

את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:

מחשבים את $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$
מחשבים את $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} d x$ באמצעות החלפת משתנה.
מחשבים את $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- (a x^{2} + b x + c)} d x$ באמצעות השלמה לריבוע.

שלב 1

כדי לחשב $I = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$ , נכפול את $I$ באותו אינטגרל: $I^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y$

מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים כי $I^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y$ . נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור $x - y$ . נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות $(r, ϕ)$ כאשר $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ו- $ϕ$ הזווית בין $r$ לציר X.

את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של ההתמרה $d x d y = r d r d ϕ$ , ומקבלים כי $I^{2} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d ϕ$ .

את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים כי

I^{2} = \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r \int_{0}^{2 π} d ϕ = 2 π \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r = π \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} 2 r d r

כעת נשים לב כי $\frac{d}{d r} (r^{2}) = 2 r$ ולכן $\frac{d}{d r} e^{- r^{2}} = - e^{- r^{2}} 2 r$ , ולכן $I^{2} = π {[- e^{- r^{2}}]}_{0}^{\infty} = π [0 - (- 1)] = π$ .

לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים $I = \sqrt{π}$ או לסיכום:

I = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}

שלב 2

מבצעים את החלפת המשתנים הבאה: $y^{2} = a x^{2}, y = \sqrt{a} x, d x = \frac{d y}{\sqrt{a}}$ ואז $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y = \sqrt{\frac{π}{a}}$

שלב 3

ההשלמה לריבוע:

- (a x^{2} + b x + c) = - a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{b^{2}}{4 a} - c

האינטגרציה על הריבוע נותנת $\sqrt{\frac{π}{a}}$ ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.

הערות נוספות

יש לציין שאינטגרל זה הוא פונקציה זוגית ולכן

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x

ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של $x$ ,

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{2 n} e^{- {(\frac{x}{a})}^{2}} d x & = \sqrt{π} \frac{(2 n)!}{n!} {(\frac{a}{2})}^{2 n + 1} \\ \int_{0}^{\infty} x^{2 n + 1} e^{- {(\frac{x}{a})}^{2}} d x & = \frac{n!}{2} a^{2 n + 2} \end{aligned}