גרופואיד
בערך זה |
במתמטיקה, גרופואיד (נקרא גם חבורואיד) הוא קטגוריה קטנה שכל המורפיזמים שלה הם איזומורפיזמים, כלומר הפיכים (מימין ומשמאל).
הגדרה
ביתר פירוט, גרופואיד $ {\mathcal {G}} $ הוא קטגוריה המורכבת מקבוצה של עצמים $ X $ ואוסף מורפיזמים (הנקראים "חצים") ביניהם $ A $ עם 2 העתקות $ s,t:A\to X $ הנקראות source (מקור) ו-target (מטרה) כך שלכל חץ (מורפיזם) $ f:x\to y $
- $ s(f)=s(x\to y)=x $ ו-$ t(f)=t(x\to y)=y $.
לכן, אפשר לתאר חץ כמורפיזם מ-$ x $ ל-$ y $. סימון מקובל לחץ הוא
- $ f:x\to y $ או $ x{\stackrel {f}{\longrightarrow }}y $.
בגרופואיד, כמו כל קטגוריה, קיימת הרכבה של חצים. הרכבה של $ f $ ו-$ g $ מוגדרת כאשר $ s(g)=t(f) $ ואז $ g\circ f:s(f)\to t(g) $ הוא חץ (מורפיזם) בקטגוריה. למעשה, ההרכבה היא פעולת כפל עם תחום שהוא מכפלת הסיב
- $ A\times _{X}A=\left\{(f,g)\in A\times A\mid t(f)=s(g)\right\} $
וטווח שהוא $ A $. הרכבה זו היא פעולה אסוציאטיבית: אם ההרכבה של $ f,g,h\in A $ מוגדרת אזי מתקיים $ h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f $.
ישנו גם שיכון של $ X $ בתוך $ A $ המתאים לכל אובייקט $ x\in X $ את מורפיזם הזהות $ 1_{x} $ שמקיים את התכונות המצופות מזהות: לכל $ f:w\to x $ מתקיים $ 1_{x}\circ f=f $ ולכל $ g:x\to y $ מתקיים $ g\circ 1_{x}=g $.
לבסוף, אנו דורשים שכל חץ הוא הפיך, כלומר אם $ f:x\to y $ הוא חץ בקטגוריה, אז קיים החץ ההפכי $ f^{-1}:y\to x $ כך שמתקיים $ f^{-1}\circ f=1_{x} $ ו-$ f\circ f^{-1}=1_{y} $.
את הגרופואיד מסמנים $ {\mathcal {G}}:A\rightrightarrows X $ או $ {\mathcal {G}}=\left[A\rightrightarrows X\right] $.
דוגמאות
חבורה היא גרופואיד עם עצם אחד $ X=\{x\} $ ולכן כל חץ הוא מהצורה $ f:x\to x $ וכל החצים ב-A ניתנים להרכבה זה עם זה. קיים איבר יחידה והוא $ 1_{x} $. לכל חץ $ f $ יש הפכי $ f^{-1} $, ולכן זהו גרופואיד.
דוגמה טיפוסית: הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם תת-הקבוצות של קבוצה קבועה, והמורמפיזמים הם התאמות חד-חד-ערכיות ועל בין תת-קבוצות. כשמקודדים את התכונות של קטגוריות כאלה לאקסיומות, מתקבלת הגדרה לאובייקט הקרוי גרופואיד אינדוקטיבי; גרופואידים אלה מתאימים באופן טבעי לחבורות למחצה הפיכות.
עוד דוגמה: גרופואיד פעולה $ G\times X\rightrightarrows X $ - האובייקטים שלו הם איברי קבוצה $ X $ שחבורה $ G $ פועלת עליה, והחצים ניתנים על ידי $ x\to g\cdot x $ לכל $ x\in X,g\in G $, כלומר: כל חץ הוא זוג סדור $ (g,x) $ כך ש-$ (g,x):x\to g\cdot x $. קל לראות שכל חץ הוא הפיך ו-$ (g,x)^{-1}=(g^{-1},g\cdot x)=g\cdot x\to g^{-1}\cdot (g\cdot x)=x $.
תכונות
ב-1929 הוכיח H.Brandt שכל גרופואיד קשיר הוא קטגוריה שבה האובייקטים הם קבוצה $ X $ והמורפיזמים מ-$ a $ ל-$ b $ נמצאים בהתאמה לאברים של חבורה קבועה, $ G $. "אלגברת החבורה" של גרופואיד כזה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת החבורה של $ G $.
ראו גם
בעבר התייחסה המלה גרופואיד לקבוצה עם פעולה בינארית כלשהי; אובייקט זה מכונה היום מאגמה.
לקריאה נוספת
- The algebraic theory of semigroups, A. H. Clifford, G. B. Preston.
קישורים חיצוניים
- גרופואיד, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
גרופואיד29997776Q1196038