משפט ז'ורדן-הלדר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, משפט ז'ורדן-הלדר קובע שכל סדרות ההרכב של חבורה סופית הן שקולות. כלומר גורמי ההרכב של כל זוג סדרות הרכב הם זהים עד כדי סדר ואיזומורפיזם.

המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של המשפט היסודי של האריתמטיקה, שהוא מקרה פרטי שלו עבור החבורות החיבוריות n.

משפט ז'ורדן הולדר נובע בקלות ממשפט העידון של שרייר שקובע: לכל שתי סדרות נורמליות בחבורה קיימים עידונים שקולים. כאשר עידון של סדרה נורמלית הוא תהליך בו מוסיפים תתי-חבורות נורמליות מתאימות לסדרה.

תיאור ההוכחה

להלן סקירה של שלבי ההוכחה.

למת הפרפר של זסנהאוס

תהי G חבורה, ונניח כי נתונות תתי החבורות AA*G וכן BB*G. (כאשר סימון לתת-חבורה, ו- סימון לתת-חבורה נורמלית). אזי מתקיימים היחסים הבאים:

A(A*B)A(A*B*)

B(AB*)B(A*B*)

וכן מתקיים האיזומורפיזם הבא לגבי חבורות המנה:

A(A*B*)/A(A*B)B(A*B*)/B(AB*)

הוכחה
עיקר ההוכחה הוא האיזומורפיזם בין חבורות המנה. אותו ניתן להסיק ממשפט האיזומורפיזם השני. תחילה שמים לב כי:

A(A*B*)/A(A*B)(A*B*)/((A(A*B))(A*B*))=(A*B*)/((AB*)(A*B)), כאשר האיזומורפיזם הראשון נובע ממשפט האיזומורפיזם השני והשיויון אחריו הוא חישוב פשוט. באופן סימטרי מסיקים ש: B(A*B*)/B(AB*)(A*B*)/((AB*)(A*B)). הלמה נובעת משילוב שני האיזומורפיזמים האלה.

הוכחת משפט העידון של שרייר

תהי G חבורה ויהיו {Ai}i=0n, {Bj}j=0m סדרות נורמליות בחבורה. לכל 0in ולכל 0jm החבורות הבאות:

Aij=:Ai+1(AiBj)

מלמת הפרפר שהזכרנו נובע שלכל i מתקיים AijAi,j+1. כמו כן קל ליווכח כי Ai0=Ai וכן Aim=Ai+1. כעת נבצע את תהליך העידון באופן הבא: לכל תווך Ai+1Ai בסדרה הנורמלית המקורית נוסיף את תתי הסדרות שהגדרנו כך:

Ai=Ai0Ai1...Aim=Ai+1

מכך מתקבל עידון של הסדרה הנורמלית {Ai}i=0n.

באופן סימטרי לגמרי בונים עידון של הסדרה הנורמלית {Bj}j=0m, ומחלקה השני של למת הפרפר ניתן להווכח שאכן כל גורמי שתי הסדרות המעודנות איזומורפיים, עד-כדי שינוי סדר.

הוכחת משפט ז'ורדן-הלדר

תהי G חבורה סופית ויהיו {Hi}i=0n, {Kj}j=0m סדרות הרכב כלשהן של החבורה. נרצה להראות שהסדרות הללו שקולות.

סדרות ההרכב הן בפרט סדרות נורמליות, ולכן ממשפט העידון נובע שקיימים לשתי הסדרות עידונים שקולים, שנסמן {H'i}i=0l, {K'j}j=0l. נשים לב שמשקילות העידונים נובע כי שניהם באותו אורך.

קל לראות שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם אין בה חזרות, וכן כל עידון שלה בהכרח יוסיף חזרות. לכן גורמי ההרכב החדשים שמתווספים בעידונים השקולים הם רק {e}, מספר כלשהו של פעמים. משקילות העידונים נובע שבהכרח מספר הפעמים שהגורם הטריוויאלי מתווסף שווה בשתיהן, ומכאן ששאר הגורמים שווים במספרם ואיזומורפיים, ללא חשיבות לסדר. אך שאר הגורמים הם בדיוק גורמי סדרות ההרכב המקוריות, ומכאן כי הן שקולות.

קישורים חיצוניים

משפטי יסוד בתורת החבורות
 
 
 
קוסטים שונים הם זרים
קוסטים שונים הם זרים


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
כל חבורה היא מנה של חבורה חופשית
כל חבורה היא מנה של חבורה חופשית


 
 
מיון של G קבוצות
מיון של G קבוצות


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
המרכז של חבורת p לא טריוויאלית אינו טריוויאלי
המרכז של חבורת p לא טריוויאלית אינו טריוויאלי


 
קבוצה

Ad(G) - אינווריאנטית לא ריקה X של תת-חבורות p-סילו של G מקיימת:

|X|=1modp
קבוצה

Ad(G) - אינווריאנטית לא ריקה X של תת-חבורות p-סילו של G מקיימת:

|X|=1modp


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
יחדות אוסף גורמי סדרת ההרכב
יחדות אוסף גורמי סדרת ההרכב


קיום סדרת הרכב עבור חבורות סופיות.
קיום סדרת הרכב עבור חבורות סופיות.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
המנרמל של המנרמל של תת-חבורת סילו הוא המנרמל שלה
המנרמל של המנרמל של תת-חבורת סילו הוא המנרמל שלה


 
 
 
מקרא
משפט בתורת החבורות
משפט בתורת החבורות הסופיות
 
גרירה: ההוכחה למשפט הנגרר מתבססת על המשפטים הגוררים[1]
 
 
 
 
 
תת-חבורה של חבורה נילפוטנטית היא תת-נורמלית
תת-חבורה של חבורה נילפוטנטית היא תת-נורמלית


 
 
 
 
 
 
 
An פשוטה עבור n>4
An פשוטה עבור n>4


 
חבורה נילפוטנטית סופית מכפלה סופית של חבורת p
חבורה נילפוטנטית סופית מכפלה סופית של חבורת p


כל חבורה מסדר קטן מ-60 פתירה
כל חבורה מסדר קטן מ-60 פתירה


הערה: בתרשים מוצגת דרך אחת לבניות ההוכחות של המשפטים. ישנן דרכים אחרות
  1. כמובן אפשריות הוכחות אחרות שמתבססות על טענות שונות.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט ז'ורדן-הלדר41500859Q737458