מרכז (תורת החבורות)

בתורת החבורות מרכז החבורה $G$ היא קבוצת כל האיברים, שמתחלפים עם כל איברי $G$ : $\mathrm {Z} (G)=\{z\in G\mid gz=zg\;\forall g\in G\}$ . המרכז הוא תמיד תת חבורה נורמלית ואבלית של $G$ .

אם $G$ היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת חסרת מרכז אם $Z(G)=\{e\}$ (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות ריק). סימון המרכז $\mathrm {Z} (G)$ מגיע מהמילה הגרמנית Zentrum שמשמעותה "מרכז".

נתבונן בהומומורפיזם $\varphi$ מהחבורה $G$ לחבורת האוטומורפיזמים שלה $\varphi :G\to \operatorname {Aut} (G)$ המוגדר לפי $(\varphi (g))(h)=ghg^{-1}$ (כלומר $\varphi (g)$ הומומורפיזם הצמדה ב- $g$ ). הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי $G$ שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של $G$ , והתמונה $\varphi (G)$ היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של $G$ , ומסומנת $\operatorname {Inn} (G)$ . לפי משפט האיזומורפיזם הראשון $G/\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G)$ . לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ- $G^{\mathrm {ad} }=G/\mathrm {Z} (G)$ .