מרכז (תורת החבורות)

בתורת החבורות מרכז החבורה $G$ היא קבוצת כל האיברים, שמתחלפים עם כל איברי $G$ : $Z (G) = {z \in G ∣ g z = z g \forall g \in G}$ . המרכז הוא תמיד תת חבורה נורמלית ואבלית של $G$ .

אם $G$ היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת חסרת מרכז אם $Z (G) = {e}$ (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות ריק). סימון המרכז $Z (G)$ מגיע מהמילה הגרמנית Zentrum שמשמעותה "מרכז".

נתבונן בהומומורפיזם $φ$ מהחבורה $G$ לחבורת האוטומורפיזמים שלה $φ : G \to Aut (G)$ המוגדר לפי $(φ (g)) (h) = g h g^{- 1}$ (כלומר $φ (g)$ הומומורפיזם הצמדה ב- $g$ ). הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי $G$ שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של $G$ , והתמונה $φ (G)$ היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של $G$ , ומסומנת $Inn (G)$ . לפי משפט האיזומורפיזם הראשון $G / Z (G) ≅ Inn (G)$ . לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ- $G^{a d} = G / Z (G)$ .