משוואת המחלקות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:

|G|=|Z(G)|+gI[G:C(g)]

כאשר Z(G) הוא המרכז של G, C(g) הוא המְרַכֵּז של g (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-Z(G).

[G:C(g)] הוא האינדקס של C(g) ב-G והוא שווה ל-[G:C(g)]=|G|/|C(g)|.

רקע

שני איברים g,hG נקראים איברים צמודים אם קיים xG כך ש-g=xhx1. צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את G למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל-g כ-Ag.

המרכז של G מוגדר Z(G)={gG:xG,xg=gx} (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה).

המְרַכֵּז של איבר gG מוגדר C(g)={xG:xg=gx} (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g).[1] למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש-C(g) היא תת-חבורה של G.

הוכחה

תהי G חבורה סופית ויהי gG. נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:

xgx1=ygy1(y1x)g=g(y1x)y1xC(g)xyC(g)xC(g)=yC(g)

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.

מכאן ש-xgx1 ו-ygy1 שונים אם ורק אם x ו-y שייכים לקוסטים שמאליים שונים של C(g). לכן מתקיים:

|Ag|=[G:C(g)]

מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:

|G|=g|Ag|

כש-g עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות.

נגדיר את I כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי Z(G). לכל gZ(G) ולכל xG מתקיים g=xx1g=xgx1 ולכן |Ag|=1 (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים:

|G|=gZ(G)1+gI|Ai|=|Z(G)|+gI[G:C(g)]

מסקנות

ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.

הוכחה: תהי G חבורה מסדר pn. אם G אבלית Z(G)=G אינו טריוויאלי. נניח ש-G אינה אבלית. יהי gI, לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים |C(g)|=pk. בהכרח k<n, אחרת C(g)=G בסתירה לכך ש-g∉Z(G). לכן: p|pnk=[G:C(g)]. לפי משוואת המחלקות:

|Z(G)|=|G|gI[G:C(g)]

אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p. |Z(G)| הוא מספר חיובי (כי eZ(G)) שמתחלק ב-p ולכן p|Z(G)|. ∎

שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי.

המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן.

הערות שוליים

  1. המרכז של איבר יחיד שווה לנורמליזטור שלו. אולם כאשר מרחיבים את הגדרת המרכז לקבוצה מקבלים אובייקט שונה מהנורמליזטור של קבוצה.
משפטי יסוד בתורת החבורות
 
 
 
קוסטים שונים הם זרים
קוסטים שונים הם זרים


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
כל חבורה היא מנה של חבורה חופשית
כל חבורה היא מנה של חבורה חופשית


 
 
מיון של G קבוצות
מיון של G קבוצות


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
המרכז של חבורת p לא טריוויאלית אינו טריוויאלי
המרכז של חבורת p לא טריוויאלית אינו טריוויאלי


 
קבוצה

Ad(G) - אינווריאנטית לא ריקה X של תת-חבורות p-סילו של G מקיימת:

|X|=1modp
קבוצה

Ad(G) - אינווריאנטית לא ריקה X של תת-חבורות p-סילו של G מקיימת:

|X|=1modp


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
יחדות אוסף גורמי סדרת ההרכב
יחדות אוסף גורמי סדרת ההרכב


קיום סדרת הרכב עבור חבורות סופיות.
קיום סדרת הרכב עבור חבורות סופיות.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
המנרמל של המנרמל של תת-חבורת סילו הוא המנרמל שלה
המנרמל של המנרמל של תת-חבורת סילו הוא המנרמל שלה


 
 
 
מקרא
משפט בתורת החבורות
משפט בתורת החבורות הסופיות
 
גרירה: ההוכחה למשפט הנגרר מתבססת על המשפטים הגוררים[1]
 
 
 
 
 
תת-חבורה של חבורה נילפוטנטית היא תת-נורמלית
תת-חבורה של חבורה נילפוטנטית היא תת-נורמלית


 
 
 
 
 
 
 
An פשוטה עבור n>4
An פשוטה עבור n>4


 
חבורה נילפוטנטית סופית מכפלה סופית של חבורת p
חבורה נילפוטנטית סופית מכפלה סופית של חבורת p


כל חבורה מסדר קטן מ-60 פתירה
כל חבורה מסדר קטן מ-60 פתירה


הערה: בתרשים מוצגת דרך אחת לבניות ההוכחות של המשפטים. ישנן דרכים אחרות
  1. כמובן אפשריות הוכחות אחרות שמתבססות על טענות שונות.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משוואת המחלקות41492650Q18388073