קוטב (אנליזה מרוכבת)
![]() |
ערך מחפש מקורות
| |
ערך מחפש מקורות | |
באנליזה מרוכבת, קוטב של פונקציה מרוכבת הוא סוג מסוים של נקודת סינגולריות של הפונקציה (הסוגים האחרים הם סינגולריות סליקה וסינגולריות עיקרית). קוטב היא נקודה, בה הפונקציה שואפת לאינסוף בערכה המוחלט.
הגדרה פורמלית
נקודה היא קוטב של פונקציה מרוכבת , אם הפונקציה אנליטית בסביבה מנוקבת של הנקודה, ומתקיים .
המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול קיים, נקרא הסדר של הקוטב. מספר זה תמיד קיים, והגבול עבורו שונה מאפס. קוטב מסדר 1 נקרא קוטב פשוט. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול .
תכונות של קטבים
הפונקציה ניתנת לפיתוח לטור לורן סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית . כלומר, . באופן שקול, יש כך שלפונקציה יש נקודה סינגולרית סליקה ב- .
הגבול , עבור מקבל את הערכים הבאים:
- אם .
- אם .
- אם .
דוגמאות
- לפונקציה קיים קוטב מסדר בנקודה .
- לפונקציה קיים קוטב מסדר בנקודה . כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של הוא: , ולכן .
- לפונקציה אין קוטב בנקודה אלא סינגולריות עיקרית.
כשמרחיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל הקומפקטיפיקציה של המישור המרוכב (כלומר, מוסיפים להגדרה את נקודת האינסוף, כמו בספירת רימן), הנקודה נחשבת לקוטב של מאותו סוג וסדר של הקוטב בפונקציה .
מונחים קשורים
פונקציה מרוכבת שכל נקודות הסינגולריות שלה הן קטבים נקראת פונקציה מרומורפית.
קישורים חיצוניים
אנליזה מרוכבת | ||
---|---|---|
בסיס | מספר מרוכב • שדה המספרים המרוכבים • פונקציה מרוכבת • הספירה של רימן | |
נגזרת | פונקציה הולומורפית • פונקציה שלמה • נוסחת אוילר • משוואות קושי-רימן • העתקה קונפורמית | |
אינטגרל | משפט האינטגרל של קושי • נוסחת האינטגרל של קושי • משפט מוררה • משפט ליוביל • המשפט היסודי של האלגברה | |
קטבים | טור לורן • סינגולריות • קוטב • משפט השאריות • עקרון הארגומנט • משפט רושה | |
אנליזה מתמטית • חשבון אינפיניטסימלי • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה |
קוטב (אנליזה מרוכבת)35950273Q899731