קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה $ A $ היא קבוצת כל תת הקבוצות של $ A $, ומסמנים אותה ב-$ {\mathcal {P}}(A) $. פורמלית $ {\mathcal {P}}(A)=\{B\mid B\subseteq A\} $, ולדוגמה: $ {\mathcal {P}}\left(\left\{x,y\right\}\right)=\left\{\emptyset ,\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\} $. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות

• כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
• ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי $ A $ שווה ל-$ 2^{|A|} $ (שתיים בחזקת עוצמת $ A $), ובניסוח מתמטי: $ \left|{\mathcal {P}}(A)\right|=2^{|A|} $. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של $ A $ בסימון $ 2^{|A|} $, ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב-$ 2^{A} $.
• קבוצת החזקה של $ A $ איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות של תת-קבוצות של $ A $, היא $ \{0,1\}^{A}=\{f\mid f\colon A\to \{0,1\}\} $ (כל תת-קבוצה $ B\subseteq A $ מתאימה לפונקציה המציינת שלה $ \mathbf {1} _{B}\in \{0,1\}^{A} $). לכן הסימון $ 2^{|A|} $ לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם $ 2^{|A|}=|\lbrace 0,1\rbrace ^{A}| $). זו המוטיבציה לסימון $ 2^{A} $ שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של $ A $ ("$ 2 $" מתאים לקבוצה בת שני האיברים $ \{0,1\} $).
• משפט קנטור מראה כי אי השוויון $ \left|{\mathcal {P}}(A)\right|>|A| $ שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה $ A $.

ראו גם

• הפרדוקס של קנטור
• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצת החזקה בוויקישיתוף

• קבוצת החזקה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוצת החזקה30768837Q205170