אי-שוויון (מתמטיקה)
אי-שוויון הוא שם משותף לשני סוגי טענות: הטענה ששני ערכים a,b שונים זה מזה (שאותה מסמנים $ \ a\neq b $) והטענה שאחד מהערכים גדול מהשני (שאותה מסמנים $ \ a<b $ או $ \ b>a $). הטענה שאחד הערכים גדול או שווה לשני (שאותה מסמנים $ \,a\leq b $ או $ \,b\geq a $) נקראת אי-שוויון חלש.
פעולות באי-שוויונות
יחס הסדר על הישר הממשי הוא ליניארי, כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה יחס הוא הנכון: $ \ a<b $, $ \ a=b $ או $ \ a>b $. בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס).
משוואות כמו $ \ 2x+4y=6,x-5y=0 $ אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן:
- אם $ \ a<b $ אז לכל c, $ \ a+c<b+c $;
- אם $ \ a<b $ ו-$ \ d $ חיובי, אז גם $ \ ad<bd $; אם $ \ d $ שלילי, אז $ \ ad>bd $;
- אם $ \ a<b $ וידוע ש$ \ b $ ,$ \ a $ חיוביים, אז גם $ \ a^{2}<b^{2} $.
החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון האי-שוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על האי-שוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות).
מן החוקים שהוזכרו לעיל, יחד עם התכונות הבסיסיות של יחס הסדר (ובפרט, הטרנזיטיביות שלו) נובע גם ש-
- אם $ \ a<b $ ו- $ \;c<d $ אז $ \ a+c<b+d $;
- אם $ \ 0<a<b $ ו- $ \ 0<c<d $ אז $ \ ac<bd $.
מערכת של אי-שוויונות ליניאריים
האלגברה הליניארית עוסקת במערכות של משוואות ליניאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה ליניארית מגבילה את הפתרון לעל-מישור (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון לחצי המרחב ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויונות מגדירה פאון (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות ריק אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות בתכנון ליניארי.
כדי שלמערכת של משוואות ליניאריות (כמו $ \ x+y=1,x+z=1,z-y=6 $) לא יהיה פתרון, מוכרחה להיות תלות ליניארית בין המשוואות. בדומה לזה, כדי שלמערכת של אי-שוויונות $ \ \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}>0 $ ($ \ i=1,\dots ,m $) לא יהיה פתרון, מוכרח להיות צירוף ליניארי עם מקדמים חיוביים של האי-שוויונות, השווה לאפס; כלומר, מוכרחים להיות קבועים $ \ b_{1},\dots ,b_{m}\geq 0 $, שאינם כולם אפס, כך ש- $ \ \sum _{i=1}^{m}b_{i}(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})=0 $.
הכללה
יחס הסדר המוגדר על שדה המספרים הממשיים הופך אותו לשדה סדור; הסימונים, הפעולות והתכונות של יחס הסדר של הממשיים חלים באותו אופן בכל שדה סדור.
קישורים חיצוניים
אי-שוויון (מתמטיקה)23132158