פונקציית דלתא של דיראק

פונקציית הדלתא של דיראק, המסומנת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta (x)} , היא פונקציה מוכללת המקבלת, כביכול, את הערך אינסוף בנקודה x=0 ואת הערך אפס בכל שאר הנקודות, באופן כזה שהאינטגרל שלה על פני הישר הממשי שווה ל-1.

הפונקציה, שהיא הכללה של הדלתא של קרונקר, הומצאה על ידי הפיזיקאי פול דיראק והיא נמצאת בשימוש בעיקר בפיזיקה ובהנדסה. בעיבוד אותות היא מכונה פונקציית הלם. למרות שמה, מבחינה פורמלית היא איננה פונקציה ממשית. ניתן להגדיר אותה במספר דרכים, למשל כגבול חלש של סדרה של פונקציות בעלות שיא בראשית הצירים.

מבוא פורמלי

ההגדרה השימושית

לרוב, פונקציית דלתא מוגדרת באמצעות התכונה הבאה

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)

לכל פונקציה רציפה f. כאמור, אפשר לחשוב על פונקציית דלתא, מבחינה אינטואיטיבית, כפונקציה שמקבלת את הערך 0 בכל נקודה שאיננה אפס ואת הערך אינסוף בנקודת האפס, כך שהאינטגרל על פני הישר הממשי על הפונקציה הוא 1. פונקציה ממשית כזו לא יכולה להתקיים, אבל ההצגה הזו מאפשרת להבין את תכונות הפונקציה.

פונקציית דלתא של דיראק כהתפלגות של פונקציות גאוסיאניות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\to 0.}

באופן כללי יותר אפשר לרשום:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x-x_0) \, dx = f(x_0)}

ניתן לראות את פונקציית דלתא כפונקציית צפיפות של התפלגות מצטברת, שמקבלת 0 לפני ערך מסוים ו-1 אחריו, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & x < 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix}\right. }

להתפלגות מצטברת כזו קוראים פונקציית הביסייד (פונקציית מדרגה) ובאופן אינטואיטיבי אפשר לומר שפונקציית דלתא היא ה"נגזרת" שלה (כולל בנקודת האי-רציפות),

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ d H(x) = \delta (x) \ dx}

שכן עבור ערכים שונים מ-0 פונקציית הביסייד קבועה, ולכן נגזרתה אפס, אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה, כלומר "שיפוע" אינסופי בנקודה. תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית דלתא, ובהתאם אחת הדרכים לממש אותה תהיה שימוש מתאים בגבול של הפרש של שתי פונקציות הביסייד.

בפועל, אין פונקציה אמיתית שמקיימת את התכונות האלו אך אפשר לקבל אובייקטים דומים וריגורוזיים באמצעות שימושים במושגים מתמטיים אחרים: פונקציונל או אינטגרל לבג עבור מידה מתאימה.

מימושים ריגורוזיים לפונקציית דלתא

כפונקציונל, אפשר להגדיר את פונקציית דלתא באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \forall \ \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ : \ \delta[\phi] = \phi(0)\, }

זהו פונקציונל לגיטימי הפועל על מרחב הפונקציות הממשיות. פונקציונל זה אמנם חסום בנורמת הסופרמום אך הוא אינו חסום (ולכן גם לא רציף) במרחב הילברט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L_2 } . יתרה מכך, הוא אינו מוגדר היטב באותו מרחב, כיוון ששם שתי פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, ולכן אין משמעות לערך הפונקציה בנקודה ספציפית. למרות זאת, מאחר שלפי משפט ההצגה של ריס אפשר לרשום כל פונקציונל לינארי חסום כמכפלה פנימית (ובמרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L_2} כאינטגרל) רושמים גם את הפונקציונל הזה כאינטגרל. זהו רק סימון נוח ואין למעשה שום פונקציה שמקיימת את השוויון.

אפשר גם להתייחס לפונקציית דלתא כאל מידה באופן הבא:

$\ \delta (A)=1$ אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\in A} .
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta (A)=0} אחרת.

על ידי שימוש במידה זו, אפשר לרשום אינטגרל לבג ולקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, d\delta(\{ x \}) = f(0)}

רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dH(x) = f(0)}

כאשר H היא פונקציית הביסייד. את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של אנליזה פונקציונלית ואינטגרלים ספקטרליים.

את פונקציית דלתא אפשר לממש גם כגבול של סדרת פונקציות, המתכנסות אל פונקציית דלתא. באופן אינטואיטיבי, מדובר בסדרה של פונקציות ששואפות לצורת השפיץ: כל פונקציה בסדרה נהיית צרה יותר אך גבוהה יותר יחסית לקודמתה, והשטח שמתחת לגרף שלה נשאר קבוע - 1.

באופן פורמלי, סדרת פונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left\{ \delta_n (x) \right\}_{n=1}^{\infty} } תקרא "סדרת דלתא" אם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta_n (x) dx} = 1} , דרישה זאת קובעת שלכל הפונקציות בסדרה יש משקל (שטח מתחת לעקומה) של 1.
לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \varepsilon > 0} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_0} מספיק גדול כך ש $\ \forall n>N_{0}\ :\ \forall |x|\geq \varepsilon \ :\ \delta _{n}(x)=0$ .

לדוגמה נסתכל בסדרה הבאה:

:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & |x| > \frac{1}{2n} \\ n & : & |x| < \frac{1}{2n} \end{matrix}\right. }

למעשה, זוהי סדרה של מלבנים או פונקציות מציינות על הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left[-1/(2n) , +1/(2n) \right]} מורמות לגובה n. נראה שזוהי סדרת דלתא:

שטח: כל מלבן הוא ברוחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1/n} ובגובה n ולכן השטח שלו שווה ל-1 לכל n.
קל גם לראות שסדרה זו מקיימת גם את הדרישה השנייה.

לכן זוהי סדרת דלתא של פונקציות ממשיות שמתכנסת במובן החלש לפונקציית דלתא של דיראק (על אף שזו אינה פונקציה ממשית בעצמה). בשרטוט לעיל אפשר לראות המחשה של סדרה זו וכיצד היא נהפכת לשפיץ צר וגבוה.

רשימת תכונות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(t) = \begin{cases} +\infty, & t = 0 \\ 0, & t \ne 0 \end{cases}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \delta(t) \, dt = 1}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\operatorname{d}\!\tau=H(t) }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ d H(t) = \delta (t) \ dt}
הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \delta (t)=\delta (-t)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta (t)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(t) \delta(t\pm t_0) = x(\pm t_0)\delta(t\mp t_0)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty x(t) \delta(t\mp t_0) \, dt = x(\pm t_0)}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{a}^b x(t) \delta(t\mp t_0) \, dt = \begin{cases} x(\pm t_0) &, t_0\in[a,b] \\ 0 &, t_0\notin[a,b] \end{cases}}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(t) * \delta(t\mp t_0) = x(t\mp t_0)}

הוכחת חלק מתכונות

מעצם הגדרתה מקיימת פונקציית דלתא של דיראק את תכונת הנרמול: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx} = 1} .

כמו כן היא פונקציה זוגית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta(x) = \delta(-x)} .

באמצעות החלפת משתנים באינטגרציה ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)} .

הוכחה: נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם

-a

כארגומנט הפונקציה). כעת,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (ax) dx = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(y/|a|) \delta (y) dy = \frac{1}{|a|}f(0)} כאשר ביצענו את החלפת המשתנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=ax} . ‏ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \blacksquare}

באופן כללי יותר מתקיים ש-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}}

כלומר, תחת האינטגרל מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|} }

כאשר x_i הם השורשים של g, כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(x_i)=0} .

הוכחה: מאחר שבכל קטע I בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) \neq 0} האינטגרל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_I f(x) \delta( g(x)) dx = 0} אפשר להפריד את האינטגרל לסכום של אינטגרלים על קטעים קטנים כרצוננו סביב שורשי g, כלומר:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (g(x))dx=\sum _{i}\int _{x_{i}-\varepsilon }^{x_{i}+\varepsilon }f(x)\delta (g(x))dx}

מאחר שהקטעים קטנים כרצוננו, אפשר בכל קטע לקרב את g על ידי קירוב לינארי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) = g'(x_i)(x-x_i)} . נציב זאת באינטגרל ונשתמש בתכונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)} , נקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (g(x)) dx = \sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta \Big( g'(x_i)(x-x_i) \Big) dx = \sum_{i} \frac{1}{|g'(x_i)|} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (x-x_i) dx = \sum_i \frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}}

כנדרש. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \blacksquare}

עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית דלתא באמצעות אינטגרציה בחלקים ולקבל ש : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta'[\phi] = -\phi'(0)\,} .

מכאן נובע: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta'(x)=-\frac{\delta(x)}{x}} .
כמו כן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{(n)}[\phi] = (-1)^n \phi^{(n)}(0)\,} .

התמרת פורייה של הפונקציה היא 1, ובהתמרה ההפוכה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}\,dk}

שימושים

בפיזיקה, פונקציית דלתא היא התיאור המתמטי (פונקציית ההתפלגות) של מטען חשמלי נקודתי או מסה נקודתית.
בהנדסת חשמל, עיבוד אותות ואנליזת פורייה, פונקציית דלתא (הנקראת פונקציית הלם) משמשת לביצוע מניפולציות של התמרת פורייה, ומערכות לינאריות מאופיינות על ידי התגובה שלהן להלם.
בהסתברות, פונקציית דלתא היא פונקציית צפיפות המתארת התפלגות מנוונת.
במכניקת הקוונטים משתמשים לעיתים בפונקציות דלתא כבסיס למרחב המקום או התנע. הפונקציה הדואלית לפונקציית דלתא מוזזת היא גל מישורי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{ipx/\hbar}} .

ראו גם

קישורים חיצוניים

פונקציית דלתא באתר wolfram
פונקציית דלתא מרחבית בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: תורת הבקרה/פונקצית הלם

פונקציית דלתא של דיראק

תוכן עניינים

מבוא פורמלי

ההגדרה השימושית

מימושים ריגורוזיים לפונקציית דלתא

רשימת תכונות

הוכחת חלק מתכונות

שימושים

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

	יש לערוך ערך זה. הסיבה היא: צריך לעבור על הפיסקה "תכונות".
	אתם מוזמנים לסייע ולערוך את הערך. אם לדעתכם אין צורך בעריכת הערך, ניתן להסיר את התבנית.	עריכה

פונקציית דלתא של דיראק

מבוא פורמלי

ההגדרה השימושית

מימושים ריגורוזיים לפונקציית דלתא

רשימת תכונות

הוכחת חלק מתכונות

שימושים

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

חיפוש