מסרק דיראק

במתמטיקה, מסרק דיראק או מסרק הלמים (או רכבת הלמים, בעיבוד אותות) סדרה אינסופית, מחזורית של פונקציית דלתא של דיראק המבוטאת כך:

Δ_{T} (t) \overset{d e f}{=} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (t - k T)

מאחר שהסדרה מחזורית היא ניתנת לייצוג כטור פורייה:

Δ_{T} (t) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{i 2 π n t / T}

המסרק של דיראק שימושי מאוד בתחומי הנדסת חשמל, עיבוד אותות ומערכות אופטיות.

תכונת ההכפלה

תכונת ההכפלה נגזרת ישירות מתכונות פונקציית דלתא של דיראק:

\sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (t - k T) = | α | \cdot \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (α \cdot (t - k T))

ממחזוריות הפונקציה ב־ $T$ נובע:

Δ_{T} (t + T) = Δ_{T} (t) \forall t

.

טור פורייה מרוכב לפונקציה מחזורית זו:

Δ_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{i 2 π n t / T}

כאשר קבועי פוריה הם:

$= \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} Δ_{T} (t) e^{- i 2 π n t / T} d t (- \infty < t_{0} < + \infty)$	$c_{n}$
$= \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} Δ_{T} (t) e^{- i 2 π n t / T} d t$
$= \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- i 2 π n t / T} d t$
$= \frac{1}{T} e^{- i 2 π n 0 / T}$
$= \frac{1}{T}$

והתוצאה היא:

Δ_{T} (t) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{i 2 π n t / T}

התמרת פורייה של מסרק דיראק היא גם מסרק דיראק:

\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \overset{ℱ}{⟷} \frac{1}{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (f - \frac{k}{T}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{- i 2 π f n T}

עד כדי קבוע.

\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T) \overset{ℱ}{⟷} \frac{\sqrt{2 π}}{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - k \frac{2 π}{T}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{- i ω n T}

ערך מורחב – דגימה (עיבוד אותות)

דגימה יכולה להיות מיוצגת כהכפלה של אות רציף במסרק דיראק, ייצוג שימושי מאוד בעיבוד אותות.

Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)

מסרק דיראק41054330Q385599