פונקציית גרין

במתמטיקה, פונקציית גרין היא פונקציה המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות לא הומוגניות עם תנאי שפה נתונים, והיא שימושית לפתרון בעיות בפיזיקה ובהנדסת חשמל. הפונקציה נקראת על שם ג'ורג' גרין, מתמטיקאי בריטי אשר פיתח את הרעיון בשנות ה-30 של המאה ה-19.

הגדרה

פונקציית גרין, $G(x,s)$ של אופרטור דיפרנציאלי ליניארי $\hat{L}$ היא פתרון של המשוואה:

$\hat{L}G(x,s)=\delta (x-s)$

כאשר $\delta (x-s)$ היא פונקציית דלתא של דיראק המוזזת ב-$s$.

אם מימד הגרעין של האופרטור $\hat{L}$ שונה מאפס פונקציית גרין אינה יחידה, אך למעשה תנאי השפה וסימטריות נותנים פתרון יחיד.

השימוש בפונקציה

ניתן להשתמש בפונקציית גרין כדי לפתור משוואות מהצורה:

$\hat{L}u(x)=f(x)$

פונקציית גרין היא פתרון המשוואה עבור $f(x)=\delta (x-s)$, ובעזרתה ניתן למצוא את פתרון המשוואה $u(x)$.

לאחר מציאת פונקציית גרין נכפיל את שני אגפי המשוואה המגדירה אותה ב-$f(s)$ ונבצע אינטגרציה על כל תחום ההגדרה שלה, לקבלת:

$\int \hat{L}G(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x)$

זהו אינטגרל קונבולוציה. נציב במקום $f(x)$ את האופרטור כפי שהוגדר במשוואה הדיפרנציאלית ונקבל:

$\hat{L}u(x)=\int \hat{L}G(x,s)f(s)ds$

מאחר שהאופרטור $\hat{L}$ ליניארי ופועל על $x$ בלבד (ולא על משתנה האינטגרציה $s$) נוכל להוציא אותו מהאינטגרל באגף ימין:

$\hat{L}u(x)=\hat{L}(\int G(x,s)f(s)ds)$

מכאן ניתן לזהות את הפתרון:

$u(x)=\int G(x,s)f(s)ds$

כלומר, הפתרון של משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית תלוי רק בפונקציית גרין של המשוואה ובאיבר הלא הומוגני. פונקציית גרין של האופרטור $\hat{L}$ נותנת את הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית שהוא מגדיר עבור כל פונקציה $f(x)$.

שימושים

השימוש העיקרי בפונקציית גרין במתמטיקה הוא לפתרון בעיות שפה אי-הומוגניות.

במקרה שבו האופרטור $\hat{L}$ בלתי תלוי מפורשות במשתנה התלוי (לדוגמה, הוא מכיל רק נגזרות לפי $x$ אך לא כפל בפונקציות של $x$) - פונקציית גרין תלויה רק בהפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר היא פונקציה של משתנה אחד:

$G(x,s)=G(x-s)$

במקרה כזה, פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הלא הומוגנית שווה לקונבולוציה בין האיבר הלא הומוגני לבין פונקציית גרין:

$u(x)=(G*f)(x)=\int G(x-s)f(s)ds$

בהנדסת חשמל, פונקציית גרין היא הבסיס לעקרון התגובה להלם. מערכת ליניארית ניתנת לתיאור על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית לא הומוגנית, כאשר האיבר הלא הומוגני הוא פונקציית הכניסה למערכת ופתרון המשוואה הוא היציאה של המערכת. פונקציית הדלתא של דיראק נקראת פונקציית הלם ופונקציית גרין של המשוואה נקראת תגובת ההלם של המערכת משום שהיא יציאת המערכת עבור כניסת הלם. למערכות ליניאריות בלתי משתנות בזמן יש תגובה להלם שתלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת פונקציית ההלם. במקרה כזה התגובה להלם שימושית במיוחד משום שבעזרתה ניתן לחשב את יציאת המערכת לכל כניסה באמצעות קונבולוציה בינה לבין פונקציית הכניסה, פעולה שניתן לבצע ביעילות בעזרת התמרת פורייה.

פונקציית גרין משמשת גם בתחומים רבים בפיזיקה: בפיזיקה של חומר מעובה לפתירת משוואת הדיפוזיה, באלקטרומגנטיות לפתרון משוואת פואסון, במכניקת הקוונטים לפתרון משוואת שרדינגר ובפיזיקה תאורטית מודרנית לתיאור תהליכים על ידי דיאגרמות פיינמן.

משפט גרין

יהי $\hat{L}$ אופרטור שטורם ליוביל - אופרטור דיפרנציאלי ליניארי מהצורה:

$\hat{L}=\frac{d}{dx}[p(x)\frac{d}{dx}]+q(x)$

כאשר תנאי השפה ניתנים על ידי אופרטור תנאי השפה $\hat{D}$:

$\hat{D}u=\{\begin{array}{c}{\alpha }_1{u}^{\prime }(0)+{\beta }_{1}u(0)\\ {\alpha }_2{u}^{\prime }(\ell )+{\beta }_{2}u(\ell )\end{array}$

ותהי $f(x)$ פונקציה רציפה בתחום $[0,\ell ]$.

אזי ישנו פתרון אחד ויחיד $u(x)$ המקיים:

$\begin{array}{c}\hat{L}u=f\\ \hat{D}u=0\end{array}$

והוא נתון על ידי:

$u(x)=\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}G(x,s)f(s)ds$

כאשר $G(x,s)$ היא פונקציית גרין המקיימת את התנאים הבאים:

1. $G(x,s)$ רציפה ב-$x$ וב-$s$.
2. לכל $x\ne s$ מתקיים: $\hat{L}G(x,s)=0$.
3. לכל $s\ne 0,\ell$ מתקיים: $\hat{D}G(x,s)=0$.
4. "קפיצה" בנגזרת: $G^{\prime }(s_{0^{+}},s)-G^{\prime }(s_{0^{-}},s)=1/p(s)$.
5. סימטריה: $G(s,x)=G(x,s)$.

בעיות עם תנאי שפה

כאשר פותרים בעיות עם תנאי שפה, פונקציית גרין צריכה לקיים תנאי שפה טריוויאלים (שמתאפסים), ולכן ניתן להוסיף כוח מאלץ שגם הוא מקיים את משוואת הפונקציות העצמיות.

לדוגמה, אם נסתכל על משטח מוארק אין־סופי שציר ה־$z$ ניצב אליו, ונרצה למצוא את הפוטנציאל במרחב כאשר נמצא מטען בנקודה $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$. פונקציית גרין המתאימה לבעיה הזאת היא $G(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=\frac{1}{\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}}$, אך נשים לב שהפונקציה איננה מקיימת את תנאי השפה; לכן נוסיף מטען דמות ונקבל:$\tilde{G}(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}^{\prime })=\frac{1}{\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}}-\frac{1}{\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z+z^{\prime }{)}^2}}$. ניתן לראות שאם נציב $z=0$ נקבל התאפסות.

מציאת פונקציית גרין

ניתן למצוא את פונקציית הגרין של אופרטור בשתי דרכים:

האחת – לפי הגדרה, אם $\hat{L}$ הוא אופרטור דיפרנציאלי ליניארי אז $\hat{L}G(x,s)=\delta (x-s)$ כאשר $\delta (x-s)$ היא פונקציית דלתא של דיראק. בכל זמן ש־$x\ne s$ פונקציית הדלתא מתאפסת, ונקבל משוואה דיפרנציאלית הומוגנית.

לאחר מכן נציב תנאי שפה ונדרוש רציפות גם כאשר $\delta (x-s)$ מקבלת "קליק" (ב־$x=s$). לבסוף נדרוש אי־רציפות של הנגזרת הראשונה ב־$x=s$ ונקבל את הפונקציה.

הדרך השנייה והפשוטה יותר למציאת הפונקציה היא בעזרת שיטת הפונקציות העצמיות: בהינתן משוואת הפונקציות העצמיות $\hat{L}\psi =\lambda \psi$, כאשר $\lambda$ הוא ערך עצמי (סקלר) ו־$\psi$ היא פונקציה עצמית מנורמלת בעלת תנאי קווינטוט (היינו שניתן לייצג אותה כסט שלם של פונקציות), אז ניתן לתאר את פונקציית גרין של האופרטור על־ידי: $G(x,x^{\prime })=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\psi }_k(x{)}^{†}{\psi }_k(x^{\prime })}{{\lambda }_k}$, כאשר $†$ מסמן את הצמוד ההרמיטי של הפונקציה.

דוגמה למציאת פונקציית גרין

נתונה המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

$u^{″}+u=f(x)$

עם תנאי השפה:

$u(0)=u(\pi /2)=0$

פונקציית גרין של הבעיה היא הפונקציה המקיימת את המשוואה:

$G^{″}+G=\delta (x-s)$

עבור כל $x\ne s$ פונקציית הדלתא מחזירה אפס ומתקבלת משוואה דיפרנציאלית הומוגנית שהפתרון הכללי שלה הוא:

$G(x,s)=A\cos x+B\sin x$

עבור $x<s$ נציב את תנאי השפה ב-$x=0$:

$G(0,s)=c_1\cdot 1+c_2\cdot 0=0\Rightarrow c_1=0$

עבור $x>s$ נציב את תנאי השפה ב-$x=\pi /2$:

$G(\pi /2,s)=c_3\cdot 0+c_4\cdot 1=0\Rightarrow c_4=0$

מכאן שפונקציית גרין היא מהצורה:

$G(x,s)=\{\begin{array}{c}{c}_2\sin xx<s\\ c_3\cos xs<x\end{array}$

ונותר לקבוע מהם המקדמים $c_2$ ו-$c_3$.

מרציפות פונקציית גרין עבור $x=s$ נובע כי:

$c_2\sin s=c_3\cos s$

הנגזרת הראשונה של הפתרון אינה רציפה: מבצעים אינטגרציה על שני אגפי המד"ר מ-$x=s-\epsilon$ עד $x=s+\epsilon$ ולוקחים את הגבול $\epsilon \to 0$. האינטגרל על פונקציית הדלתא הוא פונקציית מדרגה, ומהקפיצה שלה מקבלים את התנאי הבא:

$c_3\cdot (-\sin s)-c_2\cdot \cos s=1$

מתקבלת מערכת משוואות עבור $c_2$ ו-$c_3$ והפתרון שלה הוא:

$c_2=-\cos s;c_3=-\sin s$.

פונקציית גרין של הבעיה היא:

$G(x,s)=\{\begin{array}{c}-\cos s\cdot \sin xx<s\\ -\sin s\cdot \cos xs<x\end{array}$

ראו גם

• משוואה דיפרנציאלית רגילה
• משוואה דיפרנציאלית חלקית
• אופרטור

קישורים חיצוניים

• פונקציית גרין, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית גרין40785610Q378435