פונקציית המלבן

פונקציית המלבן

פונקציית המלבן (אנגלית: rectangular, rectangle function, rect function או unit pulse – ידועה גם כפולס של גל מרובע) מוגדרת כדלהלן:

$\text{rect}(t)=\sqcap (t)=\{\begin{array}{ll}0& :|t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& :|t|=\frac{1}{2}\\ 1& :|t|<\frac{1}{2}\end{array}$

ישנן הגדרות שונות של ערך הפונקציה $\text{rect}(\pm \frac{1}{2})$ בנקודות אי-הרציפות $\pm \frac{1}{2}$ והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.

אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית מדרגה $u(t)$ :

$\text{rect}\left(\frac{t}{\tau }\right)=u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})$

או לחלופין

$\text{rect}(t)=u(t+\frac{1}{2})\cdot u(\frac{1}{2}-t)$

פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\text{rect}(t)dt=1$

התמרת פורייה הרציפה של פונקציית המלבן היא

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\text{rect}(t)\cdot e^{-\omega ti}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \text{sinc}\left(\frac{\omega }{2\pi }\right)$

ובמונחי פונקציית sinc:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\text{rect}(t)\cdot e^{-2\pi ift}dt=\text{sinc}(f)$

ניתן להגדיר את פונקציית המשולש כקונוולוציה של 2 פונקציות מלבן:

$\text{tri}(t)=\text{rect}(t)*\text{rect}(t)$

כאשר מסתכלים על פונקציית מלבן כהתפלגות הסתברות, הפונקציה האופיינית שלה היא

$\phi (k)=\frac{\sin \left(\frac{k}{2}\right)}{\frac{k}{2}}$

והפונקציה יוצרת מומנטים שלה היא

$M(k)=\frac{\sinh \left(\frac{k}{2}\right)}{\frac{k}{2}}$

כאשר $\sinh (t)$ סינוס היפרבולי.

ראו גם

• התמרת פורייה
• גל מרובע
• פונקציית המשולש

פונקציית_המלבן20503896Q946860