טווח של פונקציה

פונקציה $ f $ מ-$ X $ ל-$ Y $. האליפסה הכחולה $ Y $ היא הטווח של $ f $, הצהובה היא התמונה של $ f $, והאדומה היא התחום שלה.

במתמטיקה, טווח של פונקציה אחד משלושת המרכיבים של פונקציה, לצד תחום וכלל התאמה. הטווח, הוא קבוצת כל הפלטים שהפונקציה מחזירה. בסימון $ f\colon X\rightarrow Y $ הטווח של הפונקציה $ f $ הוא הקבוצה $ Y $.

הגדרה

באופן פורמלי, טווח הוא חלק מפונקציה $ f $, אם $ f $ מוגדרת על ידי השלשה הסדורה $ (X,Y,G) $ כאשר $ X $ הוא התחום של $ f $, $ Y $ הטווח שלה ו-$ G $ כלל ההתאמה ביניהם.

ההבדל בין טווח לתמונה

טווח של פונקציה הוא מונח שונה מתמונה של פונקציה. התמונה מוגדרת להיות קבוצת כל האיברים מהצורה $ f(x) $, כאשר $ x $ נע על פני איברי התחום $ X $, נקרא התמונה של $ f $. באופן בלתי פורמלי, הטווח הוא קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להגיע אליהם, ואילו התמונה היא קבוצת כל האיברים שהפונקציה אכן מגיעה אליהם. היות שתמונה של פונקציה היא תת-קבוצה של הטווח שלה, היא לא בהכרח שווה לטווח. כלומר, ייתכן שקיימים איברים בטווח שלמשוואה $ f(x)=y $ אין פתרון עבורם. אם התמונה והטווח של $ f $ שווים, אז $ f $ היא פונקציה על.

דוגמאות

עבור הפונקציה $ f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} $ המוגדרת על ידי כלל ההתאמה $ f(x)\ =\ x^{2} $ הטווח של $ f $ הוא $ \textstyle \mathbb {R} $, אבל $ f $ לא מגיעה לשום מספר שלילי. לפיכך התמונה של $ f $ היא הקבוצה $ \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+} $; כלומר, הקטע $ [0,\infty ) $.

דוגמה נוספת היא הפונקציה $ g $: $ g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+} $ עם כלל ההתאמה $ g(x)\ =\ x^{2} $.

אף על פי שהפונקציות $ f $ ו-$ g $ מתאימות לכל $ x $ בתחום את אותו ה-$ y $ בטווח, הן פונקציות שונות, מכיוון שיש להן טווחים שונים.

נגדיר פונקציה שלישית $ h $ על ידי כלל ההתאמה $ h(x)={\sqrt {x}} $. התחום של $ h $ לא יכול להיות $ \textstyle \mathbb {R} $, אבל ניתן להגדיר בתור תחום את $ \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+} $: $ h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} $.

נבדוק את ההרכבות $ h\circ f $ ו-$ h\circ g $.

$ h\circ f $ אינו שימושי. התמונה של $ f $ אינה ידועה; ידוע רק שהיא תת-קבוצה של $ \textstyle \mathbb {R} $. מסיבה זו, ייתכן ש-$ h $, כאשר היא מורכבת עם $ f $, עשויה לקבל ארגומנט שלא מוגדר עבורו פלט. שהרי מספרים שליליים אינם איברים בתחום של $ h $, שהיא פונקציית השורש הריבועי. לכן הרכבה של פונקציה היא מושג שימושי רק כאשר הטווח של הפונקציה $ f $ היא תת-קבוצה של התחום של הפונקציה $ g $.

הטווח משפיע על האם הפונקציה היא פונקציה על. הפונקציה היא על אם ורק אם הטווח שלה שווה לתמונה שלה. בדוגמה, $ g $ פונקציה על בעוד $ f $ לא. הטווח אינו משפיע על האם פונקציה היא חד חד ערכית.

דוגמה שנייה להבדל בין טווח לתמונה מודגמת על ידי העתקות הליניאריות בין שני מרחבים וקטוריים. בפרט, כל העתקות הליניאריות מ-$ \textstyle \mathbb {R} ^{2} $ לעצמו, שיכולות להיות מיוצגות על ידי מטריצות 2×2 עם מקדמים ממשיים. כל מטריצה מייצגת מפה עם תחום $ \textstyle \mathbb {R} ^{2} $ וטווח $ \textstyle \mathbb {R} ^{2} $. עם זאת, התמונה אינה ודאית. לחלק מההעתקות עשויות להיות תמונה שווה לכל הטווח (במקרה זה המטריצות מדרגה 2) אך רבות לא. במקום זאת ממפות לתת-מרחב קטן יותר (מטריצות מדרגה 1 או 0). למשל, המטריצה:$ T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}} $ מייצגת העתקה ליניארית הממפה את הנקודה $ (x,y) $ ל-$ (x,x) $. הנקודה $ (2,3) $ אינה בתמונה של $ T $ אבל היא עדיין בטווח, שכן ההעתקות הליניאריות הן מ-$ \textstyle \mathbb {R} ^{2} $ ל-$ \textstyle \mathbb {R} ^{2} $. בדיוק כמו כל המטריצות בגודל 2×2, $ T $ מייצגת איבר בקבוצה זו. בחינת ההבדלים בין התמונה לטווח יכולה לעיתים קרובות להיות שימושית לגילוי מאפיינים של הפונקציה המדוברת. לדוגמה, ניתן להסיק של-$ T $ אין דרגה מלאה, מאחר שהתמונה שלה קטנה יותר מהטווח.

תורת הקבוצות

בתורת הקבוצות רצוי לאפשר לתחום של פונקציה להיות מחלקה נאותה $ X $, ובמקרה אלו, אין דבר כזה שלשה סדורה $ (X,Y,G) $. עם הגדרה כזו אין לפונקציות טווח, אף על פי שחלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא רשמי, לאחר הצגת פונקציה בצורה $ f\colon X\rightarrow Y $.

קישורים חיצוניים

• אביב צנזור, קורס הכנה – מבוא לפונקציות, "הטכניון מלמדים", בעמוד היוטיוב של הטכניון, ‏18 בנובמבר 2020
• טווח של פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

טווח של פונקציה34234479Q199006