טווח של פונקציה

פונקציה $f$ מ-$X$ ל-$Y$. האליפסה הכחולה $Y$ היא הטווח של $f$, הצהובה היא התמונה של $f$, והאדומה היא התחום שלה.

במתמטיקה, טווח של פונקציה אחד משלושת המרכיבים של פונקציה, לצד תחום וכלל התאמה. הטווח, הוא קבוצת כל הפלטים שהפונקציה מחזירה. בסימון $f\colon X\rightarrow Y$ הטווח של הפונקציה $f$ הוא הקבוצה $Y$.

הגדרה

באופן פורמלי, טווח הוא חלק מפונקציה $f$, אם $f$ מוגדרת על ידי השלשה הסדורה $(X,Y,G)$ כאשר $X$ הוא התחום של $f$, $Y$ הטווח שלה ו-$G$ כלל ההתאמה ביניהם.

ההבדל בין טווח לתמונה

טווח של פונקציה הוא מונח שונה מתמונה של פונקציה. התמונה מוגדרת להיות קבוצת כל האיברים מהצורה $f(x)$, כאשר $x$ נע על פני איברי התחום $X$, נקרא התמונה של $f$. באופן בלתי פורמלי, הטווח הוא קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להגיע אליהם, ואילו התמונה היא קבוצת כל האיברים שהפונקציה אכן מגיעה אליהם. היות שתמונה של פונקציה היא תת-קבוצה של הטווח שלה, היא לא בהכרח שווה לטווח. כלומר, ייתכן שקיימים איברים בטווח שלמשוואה $f(x)=y$ אין פתרון עבורם. אם התמונה והטווח של $f$ שווים, אז $f$ היא פונקציה על.

דוגמאות

עבור הפונקציה $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ המוגדרת על ידי כלל ההתאמה $f(x)\ =\ x^{2}$ הטווח של $f$ הוא $\textstyle \mathbb {R}$, אבל $f$ לא מגיעה לשום מספר שלילי. לפיכך התמונה של $f$ היא הקבוצה $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$; כלומר, הקטע $[0,\infty )$.

דוגמה נוספת היא הפונקציה $g$: $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ עם כלל ההתאמה $g(x)\ =\ x^{2}$.

אף על פי שהפונקציות $f$ ו-$g$ מתאימות לכל $x$ בתחום את אותו ה-$y$ בטווח, הן פונקציות שונות, מכיוון שיש להן טווחים שונים.

נגדיר פונקציה שלישית $h$ על ידי כלל ההתאמה $h(x)={\sqrt {x}}$. התחום של $h$ לא יכול להיות $\textstyle \mathbb {R}$, אבל ניתן להגדיר בתור תחום את $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$: $h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R}$.

נבדוק את ההרכבות $h\circ f$ ו-$h\circ g$.

$h\circ f$ אינו שימושי. התמונה של $f$ אינה ידועה; ידוע רק שהיא תת-קבוצה של $\textstyle \mathbb {R}$. מסיבה זו, ייתכן ש-$h$, כאשר היא מורכבת עם $f$, עשויה לקבל ארגומנט שלא מוגדר עבורו פלט. שהרי מספרים שליליים אינם איברים בתחום של $h$, שהיא פונקציית השורש הריבועי. לכן הרכבה של פונקציה היא מושג שימושי רק כאשר הטווח של הפונקציה $f$ היא תת-קבוצה של התחום של הפונקציה $g$.

הטווח משפיע על האם הפונקציה היא פונקציה על. הפונקציה היא על אם ורק אם הטווח שלה שווה לתמונה שלה. בדוגמה, $g$ פונקציה על בעוד $f$ לא. הטווח אינו משפיע על האם פונקציה היא חד חד ערכית.

דוגמה שנייה להבדל בין טווח לתמונה מודגמת על ידי העתקות הליניאריות בין שני מרחבים וקטוריים. בפרט, כל העתקות הליניאריות מ-$\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ לעצמו, שיכולות להיות מיוצגות על ידי מטריצות 2×2 עם מקדמים ממשיים. כל מטריצה מייצגת מפה עם תחום $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ וטווח $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$. עם זאת, התמונה אינה ודאית. לחלק מההעתקות עשויות להיות תמונה שווה לכל הטווח (במקרה זה המטריצות מדרגה 2) אך רבות לא. במקום זאת ממפות לתת-מרחב קטן יותר (מטריצות מדרגה 1 או 0). למשל, המטריצה:$T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$ מייצגת העתקה ליניארית הממפה את הנקודה $(x,y)$ ל-$(x,x)$. הנקודה $(2,3)$ אינה בתמונה של $T$ אבל היא עדיין בטווח, שכן ההעתקות הליניאריות הן מ-$\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ ל-$\textstyle \mathbb {R} ^{2}$. בדיוק כמו כל המטריצות בגודל 2×2, $T$ מייצגת איבר בקבוצה זו. בחינת ההבדלים בין התמונה לטווח יכולה לעיתים קרובות להיות שימושית לגילוי מאפיינים של הפונקציה המדוברת. לדוגמה, ניתן להסיק של-$T$ אין דרגה מלאה, מאחר שהתמונה שלה קטנה יותר מהטווח.

תורת הקבוצות

בתורת הקבוצות רצוי לאפשר לתחום של פונקציה להיות מחלקה נאותה $X$, ובמקרה אלו, אין דבר כזה שלשה סדורה $(X,Y,G)$. עם הגדרה כזו אין לפונקציות טווח, אף על פי שחלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא רשמי, לאחר הצגת פונקציה בצורה $f\colon X\rightarrow Y$.

קישורים חיצוניים

• אביב צנזור, קורס הכנה – מבוא לפונקציות, "הטכניון מלמדים", בעמוד היוטיוב של הטכניון, ‏18 בנובמבר 2020
• טווח של פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34234479טווח של פונקציה