פונקציית מדרגה

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן $[0, \infty)$ : $θ (x) = H (x) = u (x) = 1_{[0, \infty)} (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0 \end{matrix}$ (הערך ב- $x = 0$ מוגדר לעיתים אחרת, למשל $H (0) = \frac{1}{2}$ ).

תכונות הפונקציה:

הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל- $x = 0$ .
הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל- $x = 0$ .
הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
באופן לא פורמלי, "הפונקציית הנגזרת" של $H$ היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה המקבלת בכל נקודה את הערך $0$ , פרט לנקודה $x = 0$ בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש- $H (x) = \int_{- \infty}^{x} δ (s) d s$ פרט אולי ל- $x = 0$ .
הפונקציה הקדומה של $H$ היא $R a m p (x) = \int_{- \infty}^{x} H (t) d t = x \cdot H (x)$ , שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.