פאה (גאומטריה)
בגאומטריה פאה היא מצולע המגביל פאון מצדו האחד. כל פאה גובלת בכל צדדיה עם פאות נוספות, וכל אחת מצלעות הפאה, המשותפת לפאה סמוכה, נקראת מקצוע. פאונים סימטריים (בפרט פאון אפלטוני ופאון ארכימדי) מאופיינים על ידי סוג הפאות שלהם והאופן שבו הפאות פוגשות זו את זו בקודקודי הפאון.
פאותיהם של כל אחד מחמשת הפאונים האפלטוניים (פאונים משוכללים) הן מצולעים משוכללים חופפים, מסוג אחד. פאותיה של קובייה, למשל, הן שישה ריבועים חופפים. שמות הפאונים האפלטוניים (פרט לקובייה) משקפים את מספר פאותיהם.
פאותיהם של פאונים ארכימדיים הן מצולעים משוכללים חופפים, משניים או שלושה סוגים. למשל: לארבעון קטום יש 8 פאות – 4 בצורת משולש שווה-צלעות ו-4 בצורת משושה משוכלל, ולקובוקטהדרון הקטום יש 26 פאות - 12 ריבועים, 8 משושים ו-6 מתומנים.
נוסחת אוילר קושרת בין מספר פאותיו, צלעותיו וקודקודיו של פאון. הנוסחה היא V - E + F = 2, כאשר V הוא מספר הקודקודים של הפאון, E הוא מספר הצלעות ו-F הוא מספר הפאות.[1]
| נוסחת אוילר לפאונים משוכללים | ||||
| פאון | V מספר הקודקודים |
F מספר הפאות |
E מספר הצלעות |
V - E + F |
|---|---|---|---|---|
| ארבעון | 4 | 4 | 6 | 2 |
| קובייה | 8 | 6 | 12 | 2 |
| תמניון | 6 | 8 | 12 | 2 |
| תריסרון | 20 | 12 | 30 | 2 |
| עשרימון | 12 | 20 | 30 | 2 |
הגדרה מכלילה
ניתן להגדיר את המושג פאה באופן שיתייחס לכל גוף גאומטרי שהוא. בהתאם להגדרה זו, פאה של גוף, היא משטח חלק אשר בעצמו, או בצירוף עם פאות נוספות, מהווה את פני השטח של הגוף. בהתאם להגדרה זו, פאה יכולה להיות צורה כלשהי, לאו דווקא מצולע, למשל, בסיס החרוט. כמו כן, פאה יכולה להיות לאו דווקא מישורית, למשל, מעטפת החרוט.[2] בהתאם להגדרה, ניתן לסווג גופים על פי מספר הפאות שלהם:
| מספר פאות | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| הגוף הגאומטרי | כדור, טורוס, אולואיד |
חרוט, דו-חרוט, כיפה |
גליל, חרוט קטום |
ארבעון[3] | פירמידה ריבועית, מנסרה משולשת |
קובייה, פירמידה ריבועית קטומה |
הערות שוליים
- ^ גדי אלכסנדרוביץ', הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל, באתר "לא מדויק", 31 בינואר 2010
- ^ נוסחת אוילר, באופן שהיא מוצגת כאן, אינה ישימה לגופים שאינם פאונים.
- ^ ניתן להבחין שבעוד שבקבוצת הפאונים, מספר הפאות המינימאלי שיכול להיות לגוף הוא ארבע, הרי שבהתאם להגדרה המכלילה, מספר הפאות המינימאלי של גוף (שאינו פאון) יכול להיות נמוך יותר, לרבות גופים, שלפני השטח שלהם פאה אחת בלבד.