חוצה זווית

חוצה זווית הוא ישר העובר דרך קודקוד הזווית ומחלק אותה לשתי זוויות השוות זו לזו.

לכל זווית יש חוצה זווית אחד ויחיד, שהוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקיהן מקרני הזווית – שווים. לכן זהו גם המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים ששתי קרני הזווית משיקות להם.

שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום. אם אורכי הצלעות במשולש הם $a,b,c$ , האורך $t$ של חוצה הזווית מול $a$ מקיים $t^{2}=bc\left(1-\left({\frac {a}{b+c}}\right)^{2}\right)$ .

משולש שבו שני חוצי-זווית שווים זה לזה, הוא שווה-שוקיים. בעוד שהטענות האנלוגיות עבור גבהים או תיכונים הן כמעט טריוויאליות, טענה זו על חוצי הזווית אינה קלה, והיא נודעה כמשפט שטיינר-להמוס.

בניות בסרגל ומחוגה

בניית חוצה זווית באמצעות סרגל ומחוגה

לכל זווית ניתן לבנות חוצה זווית באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.

תחילה בונים קשת, שמרכזה בקודקוד הזווית, והיא חותכת את שתי קרני הזווית. כעת בונים שתי קשתות, בעלות רדיוס זהה (לא בהכרח זהה לרדיוס הקשת הראשונה), שמרכזן בנקודות החיתוך שנוצרו בשלב הקודם. קשתות אלה חותכות זו את זו בשתי נקודות, והישר שעובר דרך שתי נקודות אלה הוא חוצה הזווית.

בעוד שבניית חוצה זווית היא בעיית בנייה פשוטה ביותר, חלוקת זווית לשלושה חלקים שווים (שילוש זווית), היא אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם, ולא ניתנת לבנייה באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.

ראו גם

• משפט חוצה הזווית