גובה (גאומטריה)

שלושת הגבהים במשולש

בגאומטריה, גובה מוגדר בהקשר של מצולעים וגופים אחדים:

• במשולש הגובה הוא האנך היורד מקודקוד המשולש לצלע שמולו (או המשכה).
• בטרפז ובמקבילית הגובה הוא האנך המחבר בין שתי צלעות מקבילות.
• בפירמידה ובחרוט הגובה הוא האנך היורד מהקודקוד לבסיס.
• במנסרה, בגליל, ובחרוט ופירמידה קטומים, הגובה הוא האנך המחבר בין הבסיסים.
• בכיפה הגובה הוא האנך העולה ממרכז הבסיס המעגלי למעטפת הכדורית.

נהוג לסמן קטע זה באות $h$ , מהמילה האנגלית height (גובה).

במשולש

שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת (זה נובע מהכיוון ההפוך למשפט צ'בה). נקודה זו נמצאת, יחד עם מפגש התיכונים ומפגש האנכים האמצעיים, על ישר אוילר.

אם שני משולשים שווים בשלושת הגבהים שלהם, הם חופפים. אכן, שלושת הגבהים מאפיינים את המשולש באופן הבא:

נניח כי $h_{1},h_{2},h_{3}$ הם הגבהים לצלעות $a_{1},a_{2},a_{3}$ במשולש. נסמן $T=h_{1}h_{2}+h_{2}h_{3}+h_{3}h_{1}$ . אזי שטח המשולש הוא

$S={\frac {(h_{1}h_{2}h_{3})^{2}}{\sqrt {T(T-2h_{1}h_{2})(T-2h_{2}h_{3})(T-2h_{3}h_{1})}}}$

והצלעות הן $a_{i}={\frac {2S}{h_{i}}}$ .

הזווית בין שני גבהים משלימה לזווית בין הצלעות. ואם $\gamma$ זווית בין שתי צלעות $a,b$ , אז שטח המשולש הוא

$S={\frac {ab\sin(\gamma )}{2}}={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin(\gamma )}}$

מבין כל המשולשים שהגבהים שלהם לצלעות $a,b$ נתונות, למשולש ישר-זווית (שבו הן ניצבות) יש השטח המרבי. משולש שבו שני גבהים שווים הוא שווה-שוקיים.

מבין כל המשולשים שלהם קודקוד על כל צלע של משולש חד-זווית נתון, המשולש בעל ההיקף הקטן ביותר הוא זה המחבר את עקבי הגבהים (את הבעיה הציע ופתר Giovanni Fagnano ב-1775).

שימושים

במצולעים, הגובה משמש לחישוב השטח:

• שטח המשולש הוא $S={\frac {h\cdot a}{2}}$ כאשר $a$ אורך הבסיס לגובה.
• שטח המקבילית הוא $S=h\cdot a$ כאשר $a$ אורך הבסיס לגובה. שטח הטרפז הוא $S={\frac {h(a+b)}{2}}$ כאשר $a,b$ אורכי הבסיסים.

בגופים, הגובה יכול לשמש לחישוב הנפח:

• נפח הפירמידה והחרוט הוא $V={\frac {h\cdot s}{3}}$ , כאשר $s$ שטח הבסיס ו-$h$ הגובה.
• נפח המנסרה והגליל הוא $V=h\cdot s$ כאשר $s$ סכום שטחי הבסיסים ו-$h$ הגובה.
• נפח כיפה שרדיוס בסיסה $a$ וגובהה $h$ הוא $V={\frac {\pi }{6}}h(3a^{2}+h^{2})$ .