פונקציה ליניארית

במתמטיקה, המונח פונקציה ליניארית מתייחס לשני מושגים שונים אך קשורים:

• בחדו"א ובגאומטריה אנליטית, פונקציה ליניארית (או פונקציה קווית) היא פונקציה שהגרף שלה הוא קו ישר לא אנכי.
• באלגברה ליניארית, אנליזה מתמטית ובאנליזה פונקציונלית, פונקציה ליניארית היא העתקה ליניארית.

פונקציה ליניארית (כפולינום)

גרפים של שלוש פונקציות ליניאריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (a), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (b)

בחדו״א, גאומטריה אנליטית ותחומים קרובים, פונקציה ליניארית היא פולינום מדרגה 1 (או פחות, לרבות פולינום האפס).

פונקציה ליניארית היא פונקציה מהצורה $f(x)=ax+b$, כאשר $a$ ו- $b$ הם קבועים, לרוב מספרים ממשיים.

הגרף של פונקציה ליניארית עם משתנה יחיד הוא ישר לא אנכי החותך את ציר ה-$y$ בדיוק פעם אחת בנקודה $(x,y)=(0,b)$.

$a$ נקרא השיפוע של הישר, ו־$b$ נקודת החיתוך עם ציר ה־$y$.

• אם $a\ne 0$ אז הגרף הוא ישר לא אופקי החותך את ציר ה-$x$ בדיוק פעם אחת בנקודה $(x,y)=(-\frac{b}{a},0)$. הערך $x=-\frac{b}{a}$ הוא פתרון המשוואה $f(x)=0$, הנקרא גם השורש של $f(x)$.
  • אם $a>0$ אז שיפוע הגרף הוא חיובי והגרף עולה.
  • אם $a<0$ אז שיפוע הגרף הוא שלילי והגרף יורד.

• אם $a=0$ אז זוהי פונקציה קבועה ונחשבת לפונקציה ליניארית, שכן היא פולינום מדרגה אפס או פולינום האפס, והגרף שלה הוא קו ישר אופקי.

אם $b=0$, אז הפונקציה הליניארית נקראת הומוגנית, והגרף שלה חותך את ראשית הצירים. במקרה זה, אם $a>0$ פונקציה כזו מתארת יחס ישר בין $x$ ל- $y=f(x)$, ואם $a<0$, יחס הפוך ביניהם.

אם $a=1$ ו- $b=0$ אז $f(x)=ax+b$ היא פונקציית הזהות.

ניתן להכליל את ההגדרה עבור מספר $k$ כלשהו של משתנים, עבור פונקציה מהצורה $f(x_1,\dots ,x_k)$, הנוסחה הכללית היא

$f(x_1,\dots ,x_k)=b+a_1{x}_1+\cdots +a_k{x}_k$

והגרף שלה הוא היפר-מישור מממד $k$.

מציאת משוואת ישר: צורות שיפוע-חיתוך, נקודה-שיפוע ושתי נקודות

פונקציה ליניארית נתונה $f(x)$ ניתנת לכתיבה במספר צורות המציגות את תכונותיה השונות. הפשוטה ביותר היא שיפוע-חיתוך:

$f(x)=ax+b$,

ממנה ניתן לראות מיד את השיפוע $a$ ואת הערך ההתחלתי $f(0)=b$, שהוא נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ של הגרף $y=f(x)$.

בהינתן שיפוע $a$ וערך ידוע אחד $f(x_0)=y_0$, נכתוב את הפונקציה בצורת נקודה-שיפוע:

$f(x)=a(x-x_0)+y_0$.

זהו ישר $y=f(x)$ בעל שיפוע $a$ העובר דרך הנקודה $(x_0,y_0)$.

צורה נוספת, בהינתן שתי נקודות $f(x_0)=y_0$ ו-$f(x_1)=y_1$. מחשבים את השיפוע $a=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ ומציבים אותו בצורה של שיפוע-חיתוך:

$f(x)=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)+y_0$.

הגרף שלה $y=f(x)$ הוא הישר היחיד העובר דרך הנקודות $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$. ניתן גם לכתוב את המשוואה $y=f(x)$ בצורה המדגישה את קבוע השיפוע:

$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$.

דוגמאות לפונקציה ליניארית

גוף הנע במהירות קבועה $v$, ניתן לראות את הדרך שלו $x$ (משתנה תלוי) כפונקציה ליניארית של הזמן $t$ (משתנה בלתי תלוי) כאשר $x_0$ הוא המיקום ההתחלתי: $x=vt+x_0$.

ניתן לראות מעלות פרנהייט כפונקציה של מעלות צלזיוס כך $F=\frac{9}{5}C+32$.

קשר למשוואות ליניאריות

בהינתן משוואה ליניארית בשני משתנים $Ax+By=C$, אם נתון ש- $B\ne 0$, ניתן לפתור משוואה זו עבור $y$, ולקבל:

$y=-\frac{A}{B}x+\frac{C}{B}=ax+b$. כאשר מסמנים $a=-\frac{A}{B}$ ו-$b=\frac{C}{B}$.

כלומר, ניתן להתייחס ל-$y$ כמשתנה תלוי (פלט) המתקבל מהמשתנה הבלתי תלוי (קלט) $x$ באמצעות פונקציה ליניארית: $y=f(x)=ax+b$. במישור הקואורדינטות $xy$, הערכים האפשריים של $(x,y)$ יוצרים קו, הגרף של הפונקציה $f(x)$.

אמנם אם במשוואה $B=0$, הישר המתקבל $x=\frac{C}{A}$ הוא אנכי, ולא ניתן לכתוב אותו כ-$y=f(x)$, ואינו גרף של פונקציה.

פונקציה ליניארית (כהעתקה ליניארית)

ערך מורחב – העתקה ליניארית

באלגברה ליניארית מגדירים פונקציה ליניארית (הנקראת גם העתקה ליניארית) בין מרחבים וקטוריים כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:

• אדיטיביות: $f(x+y)=f(x)+f(y)$
• הומוגניות מסדר 1: $f(\alpha x)=\alpha f(x)$

כאשר $x$ ו-$y$ וקטורים במרחב ו-$\alpha$ מייצג קבוע בשדה סקלרי כלשהו (למשל, שדה המספרים הממשיים), שמעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים. במילים אחרות, פונקציה ליניארית שומרת על חיבור וקטורי וכפל בסקלר.

קשר בין פונקציה ליניארית (העתקה) לפונקציה ליניארית (פולינום)

בהינתן פונקציה ליניארית (העתקה) $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ (אשר מההגדרה מקיימת אדיטיביות והומוגניות), אזי קיים $a\in \mathbb{ℝ}$ כך ש- $f(x)=ax$, כלומר היא גם ליניארית (כפולינום).

ראו גם

• העתקה ליניארית
• משוואה ליניארית (ובפרט הפרק על משוואות המתארות קווים ישרים)
• יחס ישר
• ישר

לקריאה נוספת

• גיל אלון, מתמטיקה קדם אקדמית: האוניברסיטה הפתוחה, 2024

קישורים חיצוניים

• פונקציות לינאריות, מתוך קורס ההכנה במתמטיקה של הטכניון. מרצה: ד"ר אביב צנזור, סרטון הדרכה באתר יוטיוב

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה ליניארית42170903Q15854269