משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}} שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842–1905) וארנסטו צזארו (1859–1906).

ניסוח המשפט

תהא $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה כלשהי, ותהא $\left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה $\textstyle \left\{{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול $L=\lim _{n\to \infty }\textstyle {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}$, אז גם הסדרה $\textstyle \left\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת לאותו הגבול.

הוכחה

נוכיח את המקרה בו $\,L$ סופי.

יהי $\varepsilon >0$ כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים $N\,$ טבעי, כך שלכל $n>N\,$ מתקיים

$L-\textstyle {\varepsilon \over 2}<{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\textstyle {\varepsilon \over 2}$

.

כיוון שהסדרה $\left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית עולה ממש, $y_{n+1}>y_{n}\,$, כלומר $y_{n+1}-y_{n}>0\,$ וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

$$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)<x_{n+1}-x_{n}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)$$

יהא $k>N\,$ טבעי כלשהו כך ש- $y_{k}>0\,$ (בהכרח קיים $k\,$ כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל $N+1\leq n\leq k$ נקבל את האי שוויון הבא:

$$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}<\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({x_{i+1}-x_{i}}\right)}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}$$

$$\Updownarrow$$

$$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)<x_{k+1}-x_{N+1}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)$$

נחלק את אי השוויון ב- $y_{k+1}>0\,$ ונקבל

$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)<\textstyle {\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)$

$$\Updownarrow$$

$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}$

ברור כי $\lim _{k\to \infty }\left({\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L+\textstyle {\varepsilon \over 2}$. לכן קיים $M\,$ טבעי כך שלכל $k>M\,$ מתקיים $\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<L+\varepsilon$. כן ברור כי $\lim _{k\to \infty }\left({\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L-\textstyle {\varepsilon \over 2}$ לכן קיים $A\,$ טבעי כך שלכל $k>A\,$ מתקיים $\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}>L-\varepsilon$. לפיכך, אם נבחר $Q=\max\{A,M,N\}\,$, נקבל שלכל $k>Q\,$ יתקיים:

$L-\varepsilon <{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<L+\textstyle \varepsilon$, כלומר - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| {\frac{{x_{k + 1} }} {{y_{k + 1} }} - L} \right| < \textstyle \varepsilon}

ולפיכך, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim _{n \to \infty } \frac{{x_n }} {{y_n }} = L} .

דוגמאות

• נחשב את הגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n=\frac{2 + {( {3 \over 2})}^2 + {({4 \over 3})}^3 + ... + {({n+1 \over n})}^n}{n}} .

נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n = \sum^n_{k=1} \textstyle {\left({k+1 \over k} \right)}^k} , ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_n = n\,} . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_n\,} עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k - \sum^n_{k=1} {\left({k+1 \over k} \right)}^k}{n+1-n} } = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \left(1+ {1 \over n+1}\right)^{n+1}} = e}

ולכן, לפי המשפט, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = e} .

• נחשב את הגבול $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}$ כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n \rarr e} .

נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n = \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k} , ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_n = e^n\,} . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_n\,} עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\textstyle \frac{\sum^{n+1}_{k=1} e^{k-1}a_k - \sum^n_{k=1} e^{k-1}a_k}{e^{n+1}-e^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^n(a_{n+1})}{e^n(e-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{e-1} =\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{e-1} = \frac{e}{e-1}}

השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

ולכן, לפי המשפט, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + e\cdot a_2 + e^2\cdot a_3 + ... + e^{n-1} \cdot a_n}{e^n} = \lim_{n \to \infty} {x_n \over y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{e}{e-1}} .

שימושים

• הוכחת כלל לופיטל.
• בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}} סדרה מתכנסת:
  • הממוצעים המשוקללים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} מתכנסים לאותו גבול כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}} (זאת בתנאי שסדרת המשקולות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{\alpha_n\right\}_{n=1}^{\infty}} מקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n \to \infty } ).
  • הממוצע החשבוני של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} מתכנס לאותו גבול כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}} (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
  • הממוצע ההרמוני של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} מתכנס לאותו גבול כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}} .
    • משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} מתכנס לאותו גבול כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}} .

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט שטולץ31840216Q1052752