משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ ו-$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$ שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842–1905) וארנסטו צזארו (1859–1906).

ניסוח המשפט

תהא ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה כלשהי, ותהא ${\left\{y_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה ${\left\{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$, אז גם הסדרה ${\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת לאותו הגבול.

הוכחה

נוכיח את המקרה בו $L$ סופי.

יהי $\epsilon >0$ כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים $N$ טבעי, כך שלכל $n>N$ מתקיים

$L-\frac{\epsilon }{2}<\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}<L+\frac{\epsilon }{2}$

.

כיוון שהסדרה ${\left\{y_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מונוטונית עולה ממש, $y_{n+1}>y_n$, כלומר $y_{n+1}-y_n>0$ וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

$$\left(L-\frac{\epsilon }{2}\right)\left(y_{n+1}-y_n\right)<x_{n+1}-x_n<\left(L+\frac{\epsilon }{2}\right)\left(y_{n+1}-y_n\right)$$

יהא $k>N$ טבעי כלשהו כך ש- $y_k>0$ (בהכרח קיים $k$ כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל $N+1\le n\le k$ נקבל את האי שוויון הבא:

$$\left(L-\frac{\epsilon }{2}\right)\sum _{i=N+1}^k\left(y_{i+1}-y_i\right)<\sum _{i=N+1}^k\left(x_{i+1}-x_i\right)<\left(L+\frac{\epsilon }{2}\right)\sum _{i=N+1}^k\left(y_{i+1}-y_i\right)$$ $$\Updownarrow$$ $$\left(L-\frac{\epsilon }{2}\right)\left(y_{k+1}-y_{N+1}\right)<x_{k+1}-x_{N+1}<\left(L+\frac{\epsilon }{2}\right)\left(y_{k+1}-y_{N+1}\right)$$

נחלק את אי השוויון ב- $y_{k+1}>0$ ונקבל

$\left(L-\frac{\epsilon }{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)<\frac{x_{k+1}}{y_{k+1}}-\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<\left(L+\frac{\epsilon }{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)$

$$\Updownarrow$$

$\left(L-\frac{\epsilon }{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<\frac{x_{k+1}}{y_{k+1}}<\left(L+\frac{\epsilon }{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}$

ברור כי $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\left(L+\frac{\epsilon }{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}\right)=L+\frac{\epsilon }{2}$. לכן קיים $M$ טבעי כך שלכל $k>M$ מתקיים $\left(L+\frac{\epsilon }{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<L+\epsilon$. כן ברור כי $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\left(L-\frac{\epsilon }{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}\right)=L-\frac{\epsilon }{2}$ לכן קיים $A$ טבעי כך שלכל $k>A$ מתקיים $\left(L-\frac{\epsilon }{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}>L-\epsilon$. לפיכך, אם נבחר $Q=\max \{A,M,N\}$, נקבל שלכל $k>Q$ יתקיים:

$L-\epsilon <\frac{x_{k+1}}{y_{k+1}}<L+\epsilon$, כלומר - $\left|\frac{x_{k+1}}{y_{k+1}}-L\right|<\epsilon$

ולפיכך, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=L$.

דוגמאות

• נחשב את הגבול $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ כאשר $a_n=\frac{2+{(\frac{3}{2})}^2+{(\frac{4}{3})}^3+...+{(\frac{n+1}{n})}^n}{n}$.

נסמן $x_n=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^k$, ו- $y_n=n$. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $y_n$ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^{n+1}{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^k-\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^k}{n+1-n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}=e$

ולכן, לפי המשפט, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=e$.

• נחשב את הגבול $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1+e\cdot a_2+e^2\cdot a_3+...+e^{n-1}\cdot a_n}{e^n}$ כאשר $a_n\to e$.

נסמן $x_n=\sum _{k=1}^n{e}^{k-1}{a}_k$, ו- $y_n=e^n$. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $y_n$ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^{n+1}{e}^{k-1}{a}_k-\sum _{k=1}^n{e}^{k-1}{a}_k}{e^{n+1}-e^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^n(a_{n+1})}{e^n(e-1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{e-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{e-1}=\frac{e}{e-1}$

השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

ולכן, לפי המשפט, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1+e\cdot a_2+e^2\cdot a_3+...+e^{n-1}\cdot a_n}{e^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\frac{e}{e-1}$.

שימושים

• הוכחת כלל לופיטל.
• בהינתן ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה מתכנסת:
  • הממוצעים המשוקללים של $a_n$ מתכנסים לאותו גבול כמו ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ (זאת בתנאי שסדרת המשקולות ${\left\{{\alpha }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מקיימת ${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n\to \mathrm{\infty }$).
  • הממוצע החשבוני של $a_n$ מתכנס לאותו גבול כמו ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
  • הממוצע ההרמוני של $a_n$ מתכנס לאותו גבול כמו ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$.
    • משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של $a_n$ מתכנס לאותו גבול כמו ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט שטולץ31840216Q1052752