משפט רול
משפט רול (על שם מישל רול שניסח אותו ב-1691), הוא משפט בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי, העוסק בתכונה של פונקציות רציפות וגזירות בקטע סגור. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור $ \left[a,b\right] $, גזירה בקטע הפתוח $ \left(a,b\right) $ וערכיה בשני קצוות הקטע זהים $ f(a)=f(b) $, אז קיימת נקודה c בקטע $ \left(a,b\right) $ כך ש-$ f'(c)=0 $, כלומר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.
מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של $ y $) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע זוויתי כלשהו.
המשפט
| תהי $ \ f $ פונקציה רציפה בקטע הסגור $ \left[a,b\right] $ וגזירה בקטע הפתוח $ \left(a,b\right) $ כך שמתקיים $ f(a)=f(b) $. אז קיימת נקודה
$ c\in (a,b) $ כך שמתקיים $ f'(c)=0 $. |
הוכחה
על פי משפט ויירשטראס השני, פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. אם גם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצוות (אשר, לפי הנתון, שווים בערכם) הרי שהפונקציה קבועה בקטע $ \left[a,b\right] $, והנגזרת שלה היא אפס בכל נקודה בקטע $ \left(a,b\right) $. אחרת, המקסימום או המינימום מתקבלים בתוך הקטע ובכל אחד מהמקרים קיימת נקודת קיצון $ \ x_{0} $ בקטע $ \left(a,b\right) $. לפי תנאי המשפט, הפונקציה גזירה ב-$ \left(a,b\right) $ ובפרט היא גזירה ב-$ \ x_{0} $, ולכן על פי משפט פרמה ערך הנגזרת ב-$ \ x_{0} $ הוא אפס כנדרש.
הכללות
אף שהמשפט נדמה כמעט טריוויאלי, קיימות לו שתי הכללות שימושיות מאוד: משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי.
קישורים חיצוניים
- משפט רול, באתר MathWorld (באנגלית)
- משפט רול, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
- משפט רול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
משפט רול31885018Q193286