משפט לגראנז' (תורת החבורות)

משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם $G$ חבורה סופית ו- $H \subseteq G$ תת-חבורה שלה, אז הסדר של $H$ מחלק את הסדר של $G$ , כלומר $\frac{| G |}{| H |}$ הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'.

מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי $x$ היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של $x$ ). במילים אחרות, אם $G$ חבורה סופית אז $g^{| G |} = e$ לכל $g \in G$ . עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר.

אם $G$ חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את $| G |$ . תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות – הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות $A_{4}$ , שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.

לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של $n$ משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את $n!$ . הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה $H$ של החבורה הסימטרית של $n$ משתנים (הכוללת $n!$ איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של $H$ בחבורה הסימטרית, $n! / | H |$ .

הוכחת המשפט

לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של $H$ מהווה חלוקה של $G$ , ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזו שווה לסדר של $H$ .

לצורך הטענה הראשונה, די להראות שהקבוצות $a H$ זרות זו לזו. אכן, אם $x \in a H$ אז $x H \subseteq a H H = a H$ , ומאידך אפשר לכתוב $x = a h$ עבור $h \in H$ , ולכן גם $a = x h^{- 1} \in x H$ , כך ש- $a H \subseteq x H$ ולכן $x H = a H$ . כעת, אם $a H \cap b H \neq \emptyset$ , אז יש $x \in a H \cap b H$ ולכן $a H = x H = b H$ .

כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של $H$ שווה לסדר $H$ . לשם כך נבנה פונקציה חד-חד-ערכית מ- $H$ על מחלקה $a H$ כלשהי שלה.

ההתאמה $f : H \to a H$ תיבנה כך: $f (h) = a h$ .

נראה כי זו התאמה חד-חד-ערכית: נניח כי $f (h_{1}) = f (h_{2})$ אז $a h_{1} = a h_{2}$ ואחרי צמצום נקבל $h_{1} = h_{2}$ .

נראה כי זו התאמה על: יהי $x \in a H$ , אז על פי הגדרת המחלקה, $\exists h \in H : x = a h$ ולכן $f (h) = x$ .

על כן הקבוצות $H, a H$ שקולות, כלומר $| H | = | a H |$ .

כעת, לכל איבר ב- $G$ ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של $H$ . לכן מספר האיברים ב- $G$ הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של $H$ . יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב- $G$ . יהי $k$ מספר המחלקות, אז $k \cdot | H | = | G |$ , כלומר סדר $H$ מחלק את סדר $G$ , כפי שהיה להוכיח.