משלים (מתמטיקה)

דיאגרמת ון של המשלים (אפור) של $G$ בקבוצת $U$

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה $G$ הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-$G$ .

זאת ביחס לקבוצה $U$ כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" – קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת-קבוצה של $G$ .

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת $G$ והמשלים של $G$ הוא הקבוצה $U$ , ואילו החיתוך ביניהן הוא הקבוצה הריקה.

הגדרה פורמלית

תהי $U$ קבוצה, ותהי $G\subseteq U$ קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של $G$ ב-$U$ יוגדר כך:

$G^c=U-G$

סימונים מקובלים נוסף למשלים הם $G^{\prime },{\complement }_{U}G,\bar{G},-G$ . עם זאת, הסימון $\bar{G}$ מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה

תהי קבוצה $\mathbb{\mathbb{N}}=\{1,2,3,\dots \}$ המכילה את כל המספרים הטבעיים.

תהי קבוצה $A=\{2,4,6,\dots \}$ המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים. הקבוצה $B$ היא המשלים של $A$ ביחס ל-$\mathbb{\mathbb{N}}$ אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-$\mathbb{\mathbb{N}}$ אך לא ב-$A$ , כלומר את המספרים הטבעיים האי-זוגיים $\{1,3,5,\dots \}$ .

ניתן לראות כי החיתוך $A\cap B$ נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן $A\cup B$ יוצר את הקבוצה $\mathbb{\mathbb{N}}$ .

תכונות בסיסיות

$(A^c{)}^c=A$ – המשלים של המשלים לקבוצה הוא הקבוצה עצמה.

$A\cap A^c=\varnothing$ – חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

$A\cup A^c=U$ – איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

$U^c=\varnothing$ – המשלים לקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

${\varnothing }^c=U$ – המשלים לקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה-מורגן

כללי דה-מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים":

$\begin{array}{rl}(A\cup B{)}^c& =A^c\cap B^c\\ (A\cap B{)}^c& =A^c\cup B^c\end{array}$

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משלים_(מתמטיקה)23771402Q242767