המשפט הקטן של ודרברן

בתורת החוגים, המשפט הקטן של ודרברן הוא משפט הקובע שכל תחום (חוג עם יחידה שאין בו מחלקי אפס) סופי, ובפרט כל חוג עם חילוק סופי, הוא שדה.

הוכחה ראשונה למשפט ניתנה על ידי ג'וזף ודרברן ב-1905, אולם היה פער בהוכחתו. דיקסון פרסם הוכחה מלאה של המשפט זמן קצר לאחר מכן, וודרברן הוסיף שתי הוכחות מלאות נוספות באותה שנה. מאז מתמטיקאים רבים מצאו הוכחות נוספות למשפט, ביניהם אמיל ארטין וניקולא בורבאקי.

הוכחה

ההוכחה להלן פורסמה על ידי ארנסט ויט ב-1931.

הוכחת המשפט מתחלקת לשלושה חלקים. בחלק הראשון נציג תוצאות אלמנטריות על פולינומים ציקלוטומיים שישמשו אותנו בהמשך. בחלק השני נפתח את משוואת המחלקות שתקודד את הטענה האלגברית כשוויון בין מספרים שלמים. השלב שלישי מוקדש לחקר השוויון המספרי, מה שמוכיח את המשפט.

פולינומים ציקלוטומיים

הפולינום הציקלוטומי ה-n-י מוגדר כפולינום $\Phi _{n}(x)=\prod _{\rho }(x-\rho )$, כאשר $\rho$ עובר על כל שורשי היחידה הפרימיטיביים מסדר n. מכיוון שכל שורש יחידה מסדר n הוא פרימיטיבי ל-d כלשהו המחלק את n מתקיים:

$x^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(x)$

מנוסחה זו נובע באינדוקציה (באמצעות הלמה של גאוס) ש-$\Phi _{n}(x)\in \mathbb {Z} [x]$.

יהי $m\in \mathbb {Z}$ כך ש-$m|n$ ו-$m\neq n$, אזי:

$x^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(x)=\Phi _{n}(x)\cdot (x^{m}-1)\cdot \prod _{d|n,d\nmid m,d\neq n}\Phi _{d}(x)$

לכן לכל $q\in \mathbb {Z}$ מתקיים:

$\Phi _{n}(q)|q^{n}-1$

וגם:

$\Phi _{n}(q)|{\frac {q^{n}-1}{q^{m}-1}}$

משוואת המחלקות

יהי $R$ חוג סופי עם יחידה שאין בו מחלקי אפס. נוכיח תחילה ש-$R$ חוג עם חילוק, כלומר כל איבר שונה מאפס הוא הפיך.

נסמן $R^{\times }=R\setminus \{0\}$. יהי $r\in R^{\times }$. נגדיר פונקציה $f_{r}:R\to R$ באופן הבא: $f_{r}(x)=rx$.

אם $f_{r}(x)=f_{r}(y)$ אז $r(x-y)=0$, ומכיוון שאין מחלקי אפס נקבל ש-$x=y$. קיבלנו ש-$f_{r}$ היא פונקציה חד-חד ערכית מקבוצה סופית לעצמה, ולכן $f_{r}$ היא על $R$. מכאן שקיים $s\in R$ כך ש-$rs=f_{r}(s)=1$, כלומר $r$ הפיך כנדרש.

לכל $r\in R$ נגדיר את המְרַכֵּז של $r$ בתור קבוצת האיברים שמתחלפים איתו: $C(r)=\{s\in R:rs=sr\}$. בדיקה פשוטה מעלה ש-$C(r)$ הוא תת-חוג (עם יחידה) של $R$. נגדיר את המרכז של $R$ בתור:

$Z=\bigcap _{r\in R}C(r)$

המרכז אינו ריק כי הוא מכיל את 0 ואת 1. האיברים במרכז מתחלפים עם כל איבר ולכן $Z$ חוג עם חילוק סופי חילופי, כלומר שדה סופי.

נסמן $|Z|=q$. בדיקה פשוטה מעלה ש-$R$ ו-$C(r)$ הם מרחבים וקטוריים מעל $Z$. לכן קיים $n$ טבעי וקיימים $n_{r}$ טבעיים כך שמתקיים:

$|R|=q^{n}\ ,\ |C(r)|=q^{n_{r}}$

נעבור להתמקד בחבורה הכפלית $R^{\times }$ ובתתי החבורות שלה $C^{\times }(r)=C(r)\setminus \{0\}$ ו-$Z^{\times }=Z\setminus \{0\}$. לפי משוואת המחלקות:

$|R^{\times }|=|Z^{\times }|+\sum _{r\in I}{\frac {|R^{\times }|}{|C^{\times }(r)|}}$

כאשר $I$ היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות של $R^{\times }$ ללא איברי $Z$ (ייתכן ש-$I$ ריקה, וכך למעשה נוכיח. במקרה כזה נפרש את הסכום כסכום ריק). נתרגם את המשוואה למונחי $q$:

$q^{n}-1=q-1+\sum _{r\in I}{\frac {q^{n}-1}{q^{n_{r}}-1}}$

שלב סופי

מטרתנו להוכיח שממשוואת המחלקות נובע ש-$n=1$, מכיוון שאז $|R|=q=|Z|$ ולכן $R=Z$ הוא שדה.

ראשית נוכיח כי לכל $r$, $n_{r}|n$. נשים לב כי $|R^{\times }|$ מתחלק ב-$|C^{\times }(r)|$ (משפט לגראנז') ולכן $q^{n_{r}}-1|q^{n}-1$. נרשום $n=kn_{r}+p$ כאשר $0\leq p<n_{r}$.

נשתמש בסכום הטלסקופי:

$q^{n}-q^{n-kn_{r}}=(q^{n_{r}}-1)(q^{n-n_{r}}+q^{n-2n_{r}}+\ldots +q^{n-kn_{r}})$

אגף שמאל מתחלק ב-$q^{n_{r}}-1$ ולכן גם אגף ימין. מכאן נובע:

$q^{n_{r}}-1|(q^{n}-1)-(q^{n}-q^{n-kn_{r}})=q^{n-kn_{r}}-1=q^{p}-1$

אבל $q^{p}-1<q^{n_{r}}-1$ ולכן בהכרח $p=0$, כלומר $n_{r}|n$.

כעת נוכל להפעיל את התוצאות שקיבלנו על פולינומים ציקלוטומיים על מחוברי משוואת המחלקות:

$\Phi _{n}(q)|\left(q^{n}-1-\sum _{r\in I}{\frac {q^{n}-1}{q^{n_{r}}-1}}\right)=q-1$

בפרט, מכיוון ש-$1<q$ (בשדה יש שני איברים לפחות), מתקיים $|\Phi _{n}(q)|\leq q-1$

נניח בשלילה ש-$1<n$. אז $\Phi _{n}(q)=\prod _{\rho }(q-\rho )$ כאשר $\rho \neq 1$. הנקודה הכי קרובה ל-$q$ על מעגל היחידה במישור המרוכב היא 1, ולכן $1\leq |q-1|<|q-\rho |$. קיבלנו:

$q-1<\prod _{\rho }|q-\rho |=|\Phi _{n}(q)|$

סתירה. ∎

הכללות

משפט ארטין-צורן (על שם אמיל ארטין ומקס צורן) קובע שכל חוג אלטרנטיבי סופי עם חילוק הוא שדה.