חבורת הצמות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

חבורת הצמותאנגלית: Braid group) היא חבורה בעלת שימושים רבים בתחומים שונים של המתמטיקה, כמו טופולוגיה גאומטרית, גאומטריה אלגברית, הצפנה ועוד. זוהי חבורה אינסופית בעלת הצגה סופית שבמידה מסוימת מכלילה את החבורה הסימטרית הסופית.

הגדרה

לחבורת הצמות מספר הגדרות שקולות, בעלות אופי שוני, המעידות על יישומיה של החבורה בתחומים שונים.

הגדרה אלגברית

בהינתן מספר טבעי n גדול מ־1, חבורת הצמות מסדר n היא החבורה בעלת ההצגה:

Bn=σ1,...,σn1|σiσj=σjσi,|ij|2σi+1σiσi+1=σiσi+1σi,1in2.

להצגה זו קוראים הצגת ארטין, על שם המתמטיקאי אמיל ארטין שעסק בחבורה והגיע להצגה זו לראשונה. איברי החבורה מכונים צמות. יחסי החבורה נקראים יחסי קומוטטיביות ויחסי הצמות בהתאמה.

הגדרה גאומטרית

גאומטרית, חבורת הצמות ה־n היא אוסף כל הצמות לאורך n מסלולים (לא מעגליים), יחד עם פעולת הרכבת צמות.

למשל, במקרה n=4:

להלן שתי צמות שונות:

ולעומת זאת, זו איננה צמה:

פעולת ההרכבה של צמות נעשית לדוגמה כך:

מורכב על נותן את

מורכב על נותן את

המינוח המדויק נתון במונחים של טופולוגיה אלגברית והומוטופיה, בדומה להגדרה של קשרים. שיקולים שונים מראים כי הצמות בהגדרתן הגאומטרית אכן מקיימות את היחסים כלעיל (עד כדי הומוטופיה). חקר הצמות באופן גאומטרי מכונה תורת הצמות.

הגדרה טופולוגית

את חבורת הצמות ניתן להגדיר בכלים של טופולוגיה אלגברית.

נסמן D={z|z|1}, ותהי KintD קבוצת n=|K| נקודות סופית. נגדיר ב־B את קבוצות הדיפאומורפיזמים β:DD המקיימות β(K)=K (קבוצתית ולא נקודתית), ו־βD=id.

כעת, על הקבוצה B נגדיר את יחס השקילות הבא: נאמר ש־ββ אם שניהם משרים את אותו האוטומורפיזם בחבורה היסודית π1(DK,*). נגדיר את חבורת הצמות Bn(D,K) להיות חבורת המנה לפי יחס שקילות זה.

כל חבורה Bn(D,K) היא בעלת הצגה כלעיל, ובפרט Bn(D,K)BnBn(D,K) לכל שני דיסקים ולכל שתי קבוצות נקודות (מאותו גודל).

החבורה Bn(D,K) היא מודל טופולוגי של החבורה Bn. במילים אחרות, הגדרה זו אומרת שחבורת הצמות היא חבורת מחלקות ההעתקות (Mapping class group) של דיסק עם n חורים. זוהי שיטת הסתכלות שימושית העוזרת בהוכחת טענות על חבורת הצמות.

החבורה היסודית של מרחב התצורה

הגדרה נוספת של חבורת הצמות היא בתור החבורה היסודית של מרחב התצורה (Configuration space) של המרחב המרוכב n.

נגדיר Fn={(z1,,zn)nzizj} – כלומר, זוהי קבוצה פתוחה במרחב האפיני המרוכב, המהווה משלים של הקבוצה האפינית {zi=zj}. על קבוצה זו פועלת באופן טבעי החבורה הסימטרית, על ידי החלפת הקואורדינטות, וכך מתקבל המרחב Cn=Fn/Sn. העתקת המנה τ:FnCn היא העתקת כיסוי מסדר n!.

בהינתן נקודה כלשהי p¯Cn, אפשר לזהות את חבורת הצמות עם החבורה היסודית π1(Cn,p¯), ואז Pn=π1(Fn,p¯).

המרחב Cn=Fn/Sn הוא מרחב קשיר מסילתית, ועל כן מוגדרת, באי־תלות בנקודת המרכז, החבורה היסודית של המרחב, והיא מוגדרת להיות חבורת הצמות ה־n.

מבנה ומקרים פרטיים

יש הומומורפיזם טבעי מחבורת הצמות אל החבורה הסימטרית, המתקבל מכך ש"שוכחים" את המבנה הטופולוגי של הצמות ומתחשבים רק בפעולה שלהן על n הנקודות. הפעולה שולחת את יוצר קוקסטר  σi אל החילוף (i,i+1) (ההעתקה היא על, משום שהחילופים יוצרים יחד את החבורה הסימטרית). הגרעין של ההעתקה הזו מכונה חבורת הצמות הטהורה ומסומן Pn. כך מוגדרת סדרה מדויקת קצרה  1PnBnSn1.

יש ייצוג של חבורת הצמות עם היוצרים  σt,s=σs,t=σt1σs+1σsσs+11σt11 (עבור  1s<tn), והיחסים  σstσrs=σrtσst=σrsσrt כאשר  1r<s<tn, ו־ [σst,σqr]=1 כאשר (tr)(tq)(sr)(sq)>0. ייצוג סימטרי זה הוצע על ידי Birman-Ko-Lee.

חבורת הצמות הטהורה נוצרת על ידי האיברים  Aij=σij2 (עבור i<j), המתארים העברה של הפתיל ה־j מתחת לפתילים i+1,...,j1, ואז מעל ומסביב לפתיל ה־i, ובחזרה מתחת לפתילים הנזכרים לעיל. ידוע ייצוג על ידי יוצרים ויחסים של  Pn במונחי יוצרים אלה. יוצרי חבורת הצמות פועלים על היוצרים  Aij באופן הבא:  σi11Aijσi1=Ai1,j, σi1Aijσi=AijAi+1,jAij1, σj11Aijσj1=Ai,j1, σj1Ai,jσj=Aj,j+1Ai,j+1Aj,j+11, ו־ σk1Aijσk=Aij לכל k אחר.

יש אפימורפיזם מ־Pn ל־Pn1, המתקבל ממחיקת הפתיל ה־n־י (ובמונחי היוצרים, על ידי איפוס היוצרים  Ain). הטלה זו מגדירה סדרה מדויקת קצרה  1𝔽nPnPn11, שבה הגרעין הוא חבורה חופשית, הנוצרת על ידי ה־ Ain. בפרט, לכל n>2 יש ל־Pn תת־חבורה חופשית לא אבלית.

צמות וקשרים

צמות הן במידה מסוימת הכללה של שזרים.

כל צמה ניתן 'לסגור' (ללא קשר נוסף) ולקבל שזר. התאמה זו של צמות אל שזרים היא על – כלומר כל שזר הוא צמה סגורה, אך איננה חח"ע (למשל, צמות צמודות הולכות אל אותו הקשר).

ניתן לעבור בין כל שתי צמות על ידי מספר סופי של צעדי ריידמייסטר. במקרה של שתי צמות שמייצגות אותו השזר (כולל אוריינטציה), הטענה חזקה יותר – ניתן לעבור בין כל שתי צמות כנ"ל על ידי מספר סופי של צעדים כלהלן: איזוטופיית צמות, ייצוב (stabilization) ואי־ייצוב (destabilization), המכונים צעדי מרקוב. במקרה של הקשר הטריוויאלי, הטענה עוד יותר טובה – כל צמה המייצגת את השזר הטריוויאלי ניתן להעביר ליוצר על ידי איזוטופיית צמות, ייצוב וצעדי המרה (exchange moves).

ראו את המאמר של בירמן וברנדל לפרטים מלאים.

הצגות

חבורת הצמות היא חבורה ליניארית (אינסופית), כלומר ניתן לשכן אותה בחבורת מטריצות מסדר סופי, או במילים אחרות יש לה הצגה ליניארית נאמנה.

ההצגות של חבורת הצמות קשורות קשר הדוק באפימורפיזם π:BnSn – אף על פי שהגרעין שלו עצום (אינסופי), העתקה זו מאפשרת להרים הצגות של Sn (שהמבנה שלהן ידוע בצורה דיי טובה בעזרת דיאגרמות יאנג) להצגות של Bn.

הצגת בוראו

הצגת בוראו (Burau representation) היא הרמה של ההצגה הנאמנה של Sn המתאימה לדיאגרמת יאנג (n1)+1. ההצגה (אותה גילה בוראו באופן בלתי תלוי) ρ:BnGLn([t,t1]) נתונה מפורשות על ידי שליחת היוצרים σiIni1(1tt10)Ii1. הצגה זו, כמו ההצגה של Sn המתאימה לדאיגרמת יאנג (n1)+1, מתפצלת לשתי הצגות, אחת מממד אחד והשנייה מממד n1, המכונה הצגת באראו המצומצמת, ונתונה על ידי ρ¯:BnGLn([t,t1]) השולחת יוצרים: σiIi2(1t00t0011)Ini2.

הצגת בוראו נאמנה עבור n3, אך איננה נאמנה עבור n5, ולא ידוע האם היא נאמנה עבור n=4.

בעזרת הצגת בוראו ניתן לחשב ישירות את פולינום אלכסנדר, שהוא אינווריאנט קשרים: אם X הנה צמה המתאימה אל הקשר b(X), פולינום אלכסנדר שלו הוא Δb(X)(t)=det(ρ¯(X)In1)1+t++tn1.

בעזרת הצגת בוראו ניתן להכליל את פולינום אלכסנדר לפולינום בשני משתנים – פולינום ה־HOMFLY – שגם הוא אינווריאנט קשרים, וממנו גם ניתן להסיק כמקרה פרטי את פולינום ג'ונס. לפולינום ה־HOMFLY תכונות טובות מאוד (לפרטים, ראו במאמר של בירמן וברנדל).

הצגת לורנס–קרמר

ההצגה הבאה שנציג היא הצגה על שמם של המתמטיקאית הישראלית רות לורנס ושל דן קרמר.

לורנס הציגה מספר מונחים כלליים יותר, הצגות לורנס. הצגות לורנס–קרמר הן מקרה פרטי שלה. אלו הן ההעתקות λn:BnGLr([t,t1,q,q1]), אשר מהוות הצגה נאמנה לכל n.

בכך הוכח שחבורת הצמות היא חבורה ליניארית. לעובדה זה יש שימושים בתחומים שונים, כמו בהצפנה (ראו בהמשך).

צורה נורמלית

אחת ממעלותיה של חבורת הצמות היא שיש לה צורה נורמלית נוחה במיוחד, שגם ניתנת למימוש פשוט במחשב.

צורת גרסייד

הצורה הראשונה שתוצג מכונה צורת גרסייד (Garside normal form).

כדי להגיע לצורה זו, יש ראשית להגדיר את הצמות החיוביות להיות כל הצמות שנוצרות מחזקות חיוביות בלבד של היוצרים. נסמנם Bn+.

אחד הצמות (החיוביות) החשובות היא הצמה היסודית (The fundamental Braid): Δn=(σ1σ2...σn1)(σ1σ2...σn2)...σ1. איבר זה בריבוע יוצר את המרכז של החבורה, כלומר Z(Bn)=<Δn2>.

איבר זה מקיים תכונה חשובה, והיא ΔnσiΔn1=σni.

בנוסף, נגדיר צמה פשוטה: עבור יחס הסדר xyx=yz,zBn על Bn, נאמר שצמה P היא פשוטה אם 1PΔn (כאשר 1 הוא איבר היחידה). יש התאמה בין הצמות הפשוטות לאיבר החבורה הסימטרית (ובפרט כמותם היא n!), ולמעשה יותר מכך – איברים אלו הם המקורות הקצרים ביותר של כל איברי Sn לפי האפימורפיזם לעיל π:BnSn.

כעת הגענו למשפט ההצגה של גרסייד: כל צמה אפשר להציג ביחידות מהצורה ΔntP1...Pk, כאשר t מספר שלם וP1,...,Pk צמות פשוטות. צורה זו מכונה הצורה הנורמלית של האיבר. קיים אלגוריתם המוצא את הצורה הנורמלית של צמה נתונה בעל זמן ריצה O(n2|w|2), ואלגוריתם טוב יותר ביעילות O(nlog(n)|w|2).

על האלגוריתם המפורט להבאת צמה שרירותית לצורה הנ"ל, ראו בקריאה נוספת (D. Garber).

צורת בירמן

צורה נורמלית נוספת (ובמובנים מסוימים אף טובה יותר) היא צורת בירמן, על השם המתמטיקאית ג'ואן בירמן (Joan Birman).

נביט כעת באיבר δn=σn1σ1. הוא בעל תכונות דומות לצמה היסודית, ומתקיים δnn=Δn2.

צורת בירמן של צמה כללית היא הצגה יחידה בצורה δnkA1At, כאשר Ai, המכונים גורמים קנוניים (Canonical factors), ידועים מראש, כפונקציה של Pi מהסעיף הקודם.

היתרון בצורה זו הוא שכמות הגורמים הקנוניים היא כמספר קטלן: Cn=(2n)!n!(n+1)! ששווה אסימפטוטית ל־4nn1.5. יותר מכך, יש אלגוריתם יותר יעיל למציאת צורה זו, ביעילות O(n|w|2).

חבורת הצמות והצפנה

חבורת הצמות היא אחד המועמדים הטבעיים והטובים ביותר בפרוטוקולי הצפנה שונים בהצפנה לא קומוטטיבית.

הצגתה הנוחה שהוצגה לעיל, כמו גם העובדה שהיא ליניארית, מאפשרות לממש ייצוג במחשב שבעזרתו ובעזרת תכונות החבורה אפשר להכפיל ולהשוות את האיברים בצורה יעילה. בנוסף, לחבורה בעיית חיפוש מצמיד קשה במיוחד, מה שפותח את הדלת לשימוש בפרוטוקולים רבים, כמו Ko, Lee, et. al או Anshel-Anshel-Goldfeld.

תת־החבורות (שצריכות להתחלף ביניהן) שאפשר לבחור בפרוטוקולים כלעיל הן A=σ1,...,σn/21,B=σn/2+1,...,σn1. על פי אחת ההמלצות המקובלות, יש להשתמש בפרוטוקולים כמו הנ"ל בחבורת הצמות מסדר 80 ובתת חבורות עם 12 יוצרים לפחות.

חבורת הצמות האינסופית

מתוך ההגדרה לעיל, ניתן להגדיר את חבורת הצמות האינסופית. את חבורת הצמות מסדר n ניתן לשכן באופן טבעי בחבורת הצמות מסדר n+1, כלומר אפשר לומר כי BnBn+1. אם כן, חבורת הצמות האינסופית מוגדרת בתור הקו־גבול: B=limnBn; הלכה למעשה, ניתן לחשוב על כך כעל האיחוד על פני השרשרת B2B3. הצגה אינסופית שלה היא B=σ1,σ2,...σiσj=σjσi,σi+1σiσi+1=σiσi+1σi.

על חבורה זו ניתן להגדיר טופולוגיה כך שתהיה חבורת מחלקות ההעתקות של דיסק עם מספר בן מנייה של חורים.

חבורת הצמות הטהורה האינסופית איזומורפית לחבורה היסודית של קוביית הילברט (Hilbert Cube) [0,1] פחות האיברים מהצורה {(xi):ij:xi=xj}.

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא חבורת הצמות בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורת הצמות40175079Q220409