פולינום אלכסנדר

פולינום אלכסנדר (Alexander Polynomial) הוא אינווריאנט קשרים נפוץ, המתאים לכל קשר פולינום לורן סופי במקדמים שלמים. זהו אינוריאנט קשרים בסיסי וחשוב, שמהווה אינווריאנט טוב אך לא שלם.

הפולינום נחשב לפולינום הקשרים הראשון, והוצג בשנת 1923 על ידי המתמטיקאי ג'יימס אלכסנדר, שתרם רבות לטופולוגיה בכלל ותורת הקשרים בפרט. פולינום אלכסנדר עוזר במיון קשרים. לפולינום הוצגו מספר שיפורים והכללות, על ידי ג'ון קונווי בפולינום ג'ונס-קונווי, והן על ידי פיטר פרייד, דוייד ייטר ואחרים, שהציגו את פולינום ה-HOMFLY - פולינום לורן עם מקדמים שלמים בשני משתנים.

הגדרה

פולינום אלכסנדר הוא איבר בחוג הפולינומים $\ \Delta _{K}(t)\in \mathbb {Z} [t,t^{-1}]$, הניתן להגדיר במספר דרכים.

הגדרה אלגברית-טופולוגית

להלן הגדרה אלגברית-טופולוגית. מן החבורה היסודית של המשלים לקשר תמיד קיימת הטלה לחבורה הציקלית האינסופית, $\ \mathbb {Z}$, המשרה סדרה קצרה מדויקת

$\ 1\longrightarrow \pi _{1}(K_{\infty })\longrightarrow \pi _{1}(S^{3}-K)\longrightarrow H_{1}(S^{3}-K)=\mathbb {Z} \longrightarrow 1$

בסדרה הזו מופיע $\ \mathbb {Z}$-כיסוי של המשלים לקשר, שאותו מסמנים ב-$\ K_{\infty }$. פולינום אלכסנדר הוא הסדר של המודול $\ H_{1}(K_{\infty })$ מעל $\ \mathbb {Z} [t,t^{-1}]$ (הסדר הוא האידאל הגדול ביותר הנוצר על ידי מינורים בגודל קבוע i במטריצת היחסים של המודול).

הגדרה קומבינטורית

חציה מימין לשמאל ($\,K_{L}$)	חציה משמאל לימין ($\,K_{R}$)	התרה של הצומת ($\,K_{0}$)

להלן הגדרה אחרת, קומבינטורית, המבוססת בין השאר על אינדוקציה. ראשית, לאל-קשר יש פולינום טריוויאלי: $\ \Delta (O)=1$. הפולינום המתאים לאיחוד זר של שני שזרים הוא מכפלת הפולינומים שלהם. יחס הרקורסיה המגדיר את הפולינום מבוסס על בחירת צומת בדיאגרמה, והשוואת שלוש הדרכים למעבר הדרכים באותו צומת. ראו שלושת המעברים על קשר השמינית בתמונה. בראשון הדרכים נפגשות באופן שאם הכיוון הוא מלמעלה למטה, הדרך העליונה עוברת מימין לשמאל. בשני היא עוברת משמאל לימין, ובשלישי שתי הדרכים ממשיכות בלי להצטלב (התרה אחרת של ההצטלבות אינה אפשרית, משום שהיא סותרת את כיווני הדרכים). נסמן את הקשרים ב-$\ K_{L},K_{R},K_{0}$ בהתאמה. היחס המגדיר את פולינומי אלכסנדר הוא $\ \Delta (K_{R})-\Delta (K_{L})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (K_{0})$.

הגדרה בעזרת צמות והצגת בוראו

הגדרה נוספת היא בעזרת הצגת בוראו המצומצמת של חבורת הצמות ${\bar {\rho }}:B_{n}\to GL_{n}(\mathbb {Z} [t,t^{-1}])$, הנתונה על ידי שליחת היוצרים: $\sigma _{i}\mapsto I_{i-2}\oplus {\begin{pmatrix}1&-t&0\\0&-t&0\\0&-1&1\end{pmatrix}}\oplus I_{n-i-2}$.

בעזרת הצגה זו ניתן להגדיר את פולינום אלכסנדר - כידוע, לכל קשר $K$ קיימת צמה סגורה המממשת אותו; בהינתן קשר מוצאים צמה כזו $b(K)$, ואז פולינום אלכסנדר נתון על ידי: $\Delta _{K}(t)={\frac {\operatorname {det} ({\bar {\rho }}(b(K))-I_{n-1})}{1+t+\dots +t^{n-1}}}$.

תכונות

פולינומי אלכסנדר מקיימים את התכונות הבאות:

• הפולינום סימטרי - $\Delta _{K}(t)=\Delta _{K}(t^{-1})$
• הפולינום של סכום קשיר הוא מכפלת הפולינומים - $\ \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)$
• $\Delta _{K}(t)=1$ אם ורק אם תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת הקשר $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$ היא מושלמת (כלומר שווה לתת-חבורת הקומוטטורים שלה).
• לכל פולינום לורן סימטרי ועובר בנקודה $(1,1)$ יש קשר בעל אותו הפולינום כפולינום אלכסנדר שלו.

דוגמאות

קשר Kinoshita-Terasaki, שפולינום אלכסנדר שלו טריוויאלי

• פולינום אלכסנדר של קשר התלתן הוא $t^{-1}+1+t$.
• פולינום אלכסנדר של קשר השמינית הוא $t^{-1}+3+t$.
• פולינום אלכסנדר של קשר הסור (stevedore Knot) הוא $-2t^{-1}+5-2t$.
• למרות שבפולינום יש, לכאורה, מקום לאינפורמציה רבה על הקשר, ידועה משפחה אינסופית של קשרים לא טריוויאליים שהפולינום שלהם שווה לזה של האל-קשר. הקשר של Kinoshita-Terasaki, בתמונה, הוא דוגמה אחת כזו.

ראו גם

• אינווריאנטים של קשרים
• פולינום ג'ונס
• פולינום ה-HOMFLY