מרחב כיסוי

במתמטיקה ובמיוחד בטופולוגיה, מרחב כיסוי הוא מרחב טופולוגי C אשר "מכסה" מרחב טופולוגי אחר X באמצעות הומיאומורפיזם מקומי ועל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,p:C \rightarrow X} הנקרא העתקת כיסוי. מרחבי כיסוי נלמדים בטופולוגיה אלגברית, אך יש להם חשיבות גם בענפים נוספים במתמטיקה, כגון גאומטריה דיפרנציאלית, חבורות טופולוגיות ומשטחי רימן.

התורה של מרחבי כיסוי קשורה קשר הדוק לחבורה היסודית של מרחב.

הגדרה פורמלית

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

כיסוי סביבה על ידי יריעות

מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי X הוא מרחב טופולוגי C ביחד עם פונקציה רציפה $p:C\rightarrow X$ על $X$, כך שלכל נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X} קיימת סביבה פתוחה U כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{-1}(U)} היא איחוד זר של קבוצות פתוחות ב-C, שכל אחת מהן הומיאומורפית ל-U באמצעות p. במילים אחרות, ניתן לרשום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{-1}(U) = \bigcup_{\alpha \in I} U_{\alpha}} כאשר לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \in I} , הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{\alpha}} היא קבוצה פתוחה ב-C, והפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p|_{U_{\alpha}}:U_{\alpha}\rightarrow U} היא הומיאומורפיזם.

ההעתקה p נקראת העתקת כיסוי, והמרחב X נקרא לעיתים קרובות הבסיס של הכיסוי. הקבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} נקראות סביבות המכוסות באופן אחיד. סביבות המכוסות באופן אחיד יוצרות כיסוי פתוח של X. העותקים ההומיאומורפים ב-C של סביבה המכוסה באופן אחיד U נקראים יריעות (Sheets) מעל U.

אפשר לדמיין את C כמרחב ה"מרחף" מעל X: היריעות נמצאות מעל U, והמקורות השונים של x נמצאים בקו אנכי מעל x, אחד מעל השני.

מבנה

למרחבי כיסוי מבנה חשוב ובסיסי בטופולוגיה אלגברית, הדומה במובן מסוים למבנה של התאמת גלואה. מושג חשוב נוסף הוא מושג ההרמה, שיתואר מיד.

הרמות

המשפט הבסיסי ביותר הוא משפט ההרמה:

משפט: נניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P:C \to X} כיסוי.

• נניח $\gamma$ מסילה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in p^{-1}(\{\gamma(0)\})} . אזי קיימת ויחידה מסילה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{\gamma}^x} המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{\gamma}^x(0)=x} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \circ \hat{\gamma}^x=\gamma} . זוהי הרמה של העקומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} המתחילה ב-$x$.
• נניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma, \delta} שתי עקומות הומוטופיות ביחס לקצוות (כלומר, ההומוטופיה קובעת את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(0),\gamma(1)} ). אזי ניתן להרים את ההומוטופיה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} כלומר העקומות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \hat{\gamma}^x,\hat{\delta}^x} הומוטופיות ביחס לקצוות, ובפרט מסתיימות באותה נקודה - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{\gamma}^x(1)=\hat{\delta}^x(1)} .

המסקנה המידית של המשפט היא עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} פשוט קשר:

משפט: נניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} פשוט קשר, ויהיו $x\in X,c\in C$. נניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p:X \to C} כיסוי. אזי המיפוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F: \pi_1(C,c) \to p^{-1}(\{c\})} המוגדרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(\phi)=\hat{\phi}^x(1)} מוגדרת היטב, ומהווה העתקה חח"ע ועל.

כלומר, יש התאמה בין נקודות על הסיב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{-1}(\{c\})} לבין החבורה היסודית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} . עם זאת, העתקה זו איננה מהווה תמיד הומומורפיזם חבורות. בכל זאת, במקרה שבו מוגדר על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{-1}(\{c\})} מבנה של חבורה טופולוגית, ההעתקה אכן מהווה הומומורפיזם חבורות, ולכן זהו איזומורפיזם חבורות. בפרט, כך ניתן להוכיח שהחבורה היסודית של המעגל היא החבורה הציקלית האינסופית (ראו בדוגמאות).

התאמת מרחבי כיסוי ותתי חבורות

כעת נסקור תכונות של החבורה היסודית של מרחבי כיסוי של מרחב נתון.

משפט: נניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,C} קשירים מסילתית מקומית ופשוטי קשר מקומית, ו-$p:X\to C$ העתקת כיסוי. אזי בהומומורפיזם החבורות המושרה ממנה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_* : \pi_1(X) \to \pi_1(C)} , הנתון על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_*(\phi)=p \circ \phi} , מהווה מונומורפיזם חבורות.

כלומר, כל החבורות היסודיות של כל מרחבי כיסוי הן תתי חבורות של החבורה היסודית של מרחב הבסיס. למעשה, ההתאמה מלאה:

משפט: לכל תת-חבורה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_1(C)} מתאים מרחב כיסוי יחיד עד כדי איזומורפיזם. כלומר, לכל תת-חבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} כנ"ל קיים מרחב כיסוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} עבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_*(\pi_1(X))=H} .

משפטים אלו נותנים התאמה מלאה בין מרחבי כיסוי של מרחב לבין תתי חבורות של החבורה היסודית שלו. זוהי התאמת גלואה - התאמה חד-חד-ערכית שהופכת סדר.

מרחב הכיסוי האוניברסלי

המרחב המתאים לחבורה הטריוויאלית נקרא מרחב כיסוי אוניברסלי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} . בשקילות, ניתן להגדיר אותו כמרחב פשוט קשר המהווה מרחב כיסוי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} . לפי האמור לעיל, הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

שם זה איננו מקרי - מרחב הכיסוי האוניברסלי מקיים תכונה אוניברסלית, בדיוק לפי הבנייה - לכל מרחב כיסוי אחר $(E,e)$ והעתקת כיסוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q:(E,e) \to (C,c)} , יש העתקה יחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s: (X,x) \to (E,e)} , כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=q \circ s} . כלומר, זהו מרחב המכסה גם את כל המרחבים האחרים.

קיומו של מרחב כיסוי אוניברסלי לא מובטח תמיד. כאמור במשפט לעיל, אם המרחבים פשוטי קשר מקומית וקשירים מסילתית מקומית, מרחב כיסוי מתאים לכל חבורה, ובפרט קיים מרחב כיסוי אוניברסלי. כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית, לא בהכרח קיים מרחב כיסוי אוניברסלי - למשל, למכפלה אינסופית (בת מנייה) של מעגלים אין מרחב כיסוי אוניברסלי.

עם זאת, כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית ניתן לקבל תוצאה חלשה יותר - בהינתן מרחב כיסוי אוניברסלי, אז קיים מרחב כיסוי המתאים לכל תת-חבורה אחרת. לכן, למרחבי כיסוי אוניברסליים תפקיד מיוחד בתאוריה.

משפט ההרמה המוכלל

משפט ההרמה המוכלל

בהינתן כיסוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p:(X,x) \to (C,c)} , והעתקה רציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:(A,a) \to (C,c)} . נרצה להבין מתי יש העתקה רציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{f} : (A,a) \to (X,x)} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \circ \hat{f} = f} , כלומר מתי יש הרמה של ההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} להעתקה שמסתדרת עם הכיסוי. התשובה נתונה במשפט הבא:

משפט: יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,C,A} מרחבים קשירים מסילתית, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} קשיר מסילתית מקומית. נניח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p:(X,x) \to (C,c)} כיסוי ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:(A,a) \to (C,c)} העתקה רציפה. אזי קיימת הרמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{f} : (A,a) \to (X,x)} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \circ \hat{f} = f} אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_*(\pi_1(A,a)) \subseteq p_*(\pi_1(X,x))} , (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_*} הוגדר לעיל).

בפרט, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} פשוט קשר, נקבל ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_1(A,a)=\{1\}} ולכן הרמה כזו קיימת תמיד.

באנליזה מרוכבת

ניתן להשתמש במשפט ההרמה המוכלל לעיל כדי למצוא תנאי הכרחי ומספיק לקיומם של שורש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -י אנליטי ו/או לוגריתם אנליטי של פונקציה הולומורפית באנליזה מרוכבת.

קיומו של לוגריתם אנליטי לפונקציה הולומורפית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: \Omega \to \mathbb{C}-\{0\}} שקול לכך שבדיאגרמה הבאה תהיה הרמה:

הרמה ללוגריתם

ולפי המשפט, זה שקול לכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_*(\pi_1(\Omega)) \subseteq {e^z}_*(\pi_1(\mathbb{C}))=\{1\}} , כלומר קיומו של לוגריתם אנליטי שקול לכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_*(\pi_1(\Omega))=\{1\}} , וזה נכון אם ורק אם האינדקס של כל מסילה סגורה בתחום הוא אפס.

לסיכום, לפונקציה קיים לוגריתם טבעי אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=0} לכל עקומה סגורה ורציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} בתחום.

באופן דומה, לפונקציה קיים שורש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -י אנליטי אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}\in n\mathbb{Z}} לכל עקומה סגורה ורציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} בתחום (שכן כעת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {z^n}_*(\pi_1(\mathbb{C}^\times)) = n \mathbb{Z}} ).

בפועל, אין צורך לבדוק את נכונות התנאים לכל עקומה סגורה - מספיק למצוא מספר עקומות (לרוב סופי) היוצרות את החבורה, ולבדוק זאת עליהן.

אם לפונקציה יש אפסים המהווים קבוצה מבודדת, ניתן להשתמש בטענות הנ"ל כאשר כעת בוחרים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega} להיות סביבה שלא מכילה אפסים. ניתן להסיק קיומו של שורש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -י אנליטי על כל התחום מקיומו על הקבוצה ללא האפסים, אם ורק אם כל שורש של הפונקציה הוא מסדר המתחלק ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .

דוגמאות

דוגמאות בסיסיות

• יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^1} מעגל היחידה. נגדיר העתקה $p:\mathbb {R} \rightarrow S^{1}$ על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(t)=(sin(t),cos(t))} . העתקה זו מהווה כיסוי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^1} , כך שכל נקודה מכוסה על ידי אינסוף נקודות. זהו מרחב כיסוי אוניברסלי של המעגל, ובעזרתו ניתן לחשב את החבורה היסודית - לפי האמור לעיל, יש התאמה בין הסיב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^{-1}(\{c\})} של כל נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \in S^1} לחבורה היסודית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_1(S^1,c)} . במקרה שלנו הסיב הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} ויש עליו מבנה של חבורה טופולוגית, ולכן זהו איזומורפיזם חבורות. לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_1(S^1,c)\cong \mathbb{Z}}
• עבור המישור המרוכב אשר הסירו ממנו את הראשית $\mathbb {C} ^{\times }$ ועבור מספר טבעי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} נגדיר העתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p:\mathbb{C}^{\times} \to \mathbb{C}^{\times}} על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(z)=z^n} . זהו כיסוי של מרחב זה, כך שכל נקודה מכוסה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} נקודות שונות (מכיוון שלכל מספר מרוכב השונה מ-0 יש בדיוק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} שורשים שונים).
• אם G חבורה טופולוגית דיסקרטית הפועלת על מרחב טופולוגי X, אז ההעתקה מ-X על X/G היא העתקת כיסוי אם המייצב של כל נקודה הוא טריוויאלי, ולכל נקודה x יש סביבה שאין בה נקודות של המסלול פרט ל-x עצמה.

משפט נילסן-שרייר

ערך מורחב – משפט נילסן-שרייר

מהתאוריה של מרחבי כיסוי ניתן גם להסיק על חבורות - ניתן להוכיח למשל שתת-חבורה של חבורה חופשית ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} יוצרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n} היא חופשית (אולי מאינדקס אינסופי). כדי לעשות זאת, ניקח את המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} להיות זר עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} עלים (כלומר, המרחב שמתקבל על ידי הלחם של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מעגלים בנקודה משותפת). החבורה היסודית שלו היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H \subseteq F_n} אז לפי האמור לעיל, מתאים לה מרחב כיסוי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} . אך מרחב כיסוי של גרף הוא גרף, ולכל גרף חבורה יסודית חופשית - לכן החבורה היא חופשית. במקרה והאינדקס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} סופי, מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H \cong F_{kn-k+1}} (ראו גם על מרחבי CW בערך על משפט ואן קמפן).

באנליזה מרוכבת

לפי האמור לעיל על מציאת שורש/לוגריתם אנליטיים, נביט במספר דוגמאות.

• לפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:D_4^c=\{z: |z|>4\} \to \mathbb{C}^\times} הנתונה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z)=z^2-4z} יש שורש אנליטי בתחום, שכן מתקיים לפי משפט השאריות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=5}{\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\frac{2}{2\pi i}\int_{|z|=5}{\frac{z-2}{z^2-4z}dz}=2(\frac{z-2}{z}\mid_{z=4}+\frac{z-2}{z-4}\mid_{z=0})=2 \in 2\mathbb{Z}}

וזה מספיק, כי בדקנו את התנאי הנ"ל על יוצר של החבורה היסודית, ולכן הוא נכון לכל איבר בחבורה היסודית. ניתן גם להסיק שאין לה אף שורש אי זוגי, ולכן בפרט אין לה לוגריתם אנליטי בתחום.

• הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\mathbb{C}^\times \to \mathbb{C}^\times} הנתונה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z)=z^2} היא דוגמה לפונקציה לה קיים שורש אנליטי (והוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{f}(z)=z} ), אך לא קיים לה לוגריתם דיסקרטי, שכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=1} {\frac{f'(z)}{f(z)}dz}=\int_{|z|=1}{\frac{2}{z}dz}=2 \neq 0} .

קישורים חיצוניים

• מרחב כיסוי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרחב כיסוי28908849Q332648