בינום

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באלגברה אלמנטרית, בינוֹם (בעברית: דו־איבר) הוא פולינום המורכב משני איברים או מונומים.

הגדרה

בינום הוא פולינום שהוא סכום של שני מונומים. בינום במשתנה יחיד נכתב בצורה

$a{x}^m-b{x}^n$

כאשר a ו־b הם מספרים, ו־m ו־n הם מספרים שלמים לא־שליליים ו־x הוא סמל שנקרא משתנה. בהקשר של פולינום לורן , בינום לורן, המכונה לעיתים קרובות בפשטות בינום, מוגדר באופן דומה, אך המעריכים m ו־n עשויים להיות שליליים.

באופן כללי יותר בינום הוא מהצורה

$a{x}_1^{n_1}\cdots x_i^{n_i}-b{x}_1^{m_1}\cdots x_i^{m_i}$

דוגמאות

$3x-2x^2$

$xy+y{x}^2$

$0.9x^3+\pi y^2$

$2x^3+7$

פעולות בבינומים פשוטים

• בינום מהצורה x² − y² ניתן לפירוק לגורמים כמכפלה של שני בינומים:

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

זהו מקרה פרטי של הנוסחה הכללית יותר:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^n{x}^k{y}^{n-k}$.

במספרים מרוכבים הנוסחה ניתנת להרחבה ל־

$x^2+y^2=x^2-(iy{)}^2=(x-iy)(x+iy)$.

• המכפלה של שני בינומים ליניאריים (ax + b) ו־(cx + d ) היא טרינום:

$(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$.

תחילתו של משולש פסקל

• בינום בחזקה ה־n־ית, המיוצג כ־(x + y)ⁿ ניתן להרחבה באמצעות משפט הבינום או לחלופין באמצעות משולש פסקל. דוגמה: הריבוע (x + y)² של הבינום (x + y) מקיים:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$.

המספרים (1, 2, 1) המופיעים כמקדמים בנוסחה זו הם המקדמים הבינומיים בשורה השנייה שמתחת לקודקוד במשולש פסקל. הפיתוח של החזקה ה־n־ית משתמש במספרים בשורה ה־n שמתחת לקודקוד במשולש פסקל.

• מימוש של הנוסחה דלעיל בה לידי ביטוי בנוסחה ליצירת שלשות פיתגוריות:

עבור m < n, יהי a = n² − m², b = 2mn, ו־c = n² + m²; ומתקיים a² + b² = c².

• בינומים שהם סכום של חזקות שלישיות ניתנים לפירוק לפולינומים ממעלה נמוכה יותר כדלקמן:

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

ראו גם

• השלמה לריבוע
• הבינום של ניוטון
• התפלגות בינומית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא בינום בוויקישיתוף

• בינום, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

בינום41371589Q193623