השלמה לריבוע

הדמיה גאומטרית מונפשת של תהליך ההשלמה לריבוע.

השלמה לריבוע היא טכניקה אלגברית לטיפול בביטוי מהצורה

A x^{2} + B x + C

הנקרא גם טרינום או משוואה ריבועית (כאשר משווים את הביטוי ל-0).

השלמה לריבוע מתבצעת בשלבים הבאים:

לקיחת הביטוי $A x^{2} + B x$ והפיכתו לביטוי ${(\sqrt{A} x + \frac{B}{2 \sqrt{A}})}^{2}$
החסרת הערך שהוספנו, כדי שלא לשנות את ערכו של הביטוי. בדוגמה לעיל: $- \frac{B^{2}}{4 A}$

כלומר:

A x^{2} + B x = {(\sqrt{A} x + \frac{B}{2 \sqrt{A}})}^{2} - \frac{B^{2}}{4 A}

לחלופין, אפשר לבצע זו בצורה הבאה:

לקיחת הביטוי $A x^{2} + B x$ והפיכתו לביטוי $A {(x + \frac{B}{2 A})}^{2}$
החסרת הערך שהוספנו, כדי שלא לשנות את ערכו של הביטוי. בדוגמה לעיל: $- \frac{B^{2}}{4 A}$

כלומר:

A x^{2} + B x = A {(x + \frac{B}{2 A})}^{2} - \frac{B^{2}}{4 A}

באמצעות שיטה זו אפשר להוכיח שהפתרונות של משוואה ריבועית נתונים על ידי

x_{1, 2} = - \frac{B}{2 A} \pm \frac{\sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A}

חשיבות

שימושים נפוצים להעלאה בריבוע הם בפתירת אינטגרלים או בהוכחות של אי שוויונים כשרוצים להראות כי ביטוי מסוים הוא חיובי.

מדיה וקבצים בנושא השלמה לריבוע בוויקישיתוף

גדי אלכסנדרוביץ', אז איך פותרים משוואה ריבועית?, באתר "לא מדויק", 26 בינואר 2008 (כולל הסבר מפורט על טכניקת ההשלמה לריבוע)
השלמה לריבוע, באתר MathWorld (באנגלית)

השלמה לריבוע38179272Q50704