הבינום של ניוטון

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המחשה גרפית לארבעת המקרים הראשונים של נוסחת הבינום של ניוטון

במתמטיקה, הבינום של ניוטון היא נוסחה לפיתוח חזקות של סכום של שני איברים.

על פי נוסחת הבינום, ניתן לפתח את החזקה $\ (x+y)^{n}$ לסכום הכולל ביטויים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a\ x^b\ y^c} , כאשר החזקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} הן מספרים טבעיים המקיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b+c=n} , והמקדם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} של כל ביטוי הוא מספר שלם חיובי ספציפי התלוי ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} וב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} . לדוגמה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.}

המקדם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} בביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a\ x^b\ y^c} מכונה מקדם בינומי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {n \choose b}} או ${n \choose c}$ (לשניהם יש אותו הערך).

נוסחת הבינום עבור חזקה שלמה

על פי הבינום של ניוטון ניתן לפתח כל חזקה שלמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+y} לסכום בצורה הזו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n}

נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל־1 תמיד, משום ש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^0=a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1} .

בנוסף, המספר 1 הוא איבר יחידה ביחס לכפל כך ש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\cdot x = x\cdot 1 = x} . כלומר, כל מספר כפול אחד שווה למספר עצמו ולכן גם מכפלה במספר כלשהו בחזקת אפס שווה למספר עצמו, כך ש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^0\cdot x = x\cdot a^0 = x} .

בהתאם לכך, נהוג לעיתים לכתוב בנוסחת הבינום גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \binom{n}{0} x^n + \ldots} במקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \binom{n}{0} x^n y^0 + \ldots} , תוך השמטת הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y^0 } – שהרי כל מספר שיוכפל בו יהיה שווה לעצמו.

מכאן שניתן לכתוב את נוסחת הבינום גם בדרך זו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^n = {n \choose 0}x^n + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n} y^n}

בעזרת סימן הסכום סיגמא גדולה (Σ), ניתן לסמן את נוסחת הבינום בדרך מקוצרת. כך שאם n מספר שלם, אז לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ו־$y$ מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}} ,

כאשר הביטוי האחרון נובע מקודמו, עקב הסימטריה בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} בביטוי הראשון.

מקדם הבינום

ערך מורחב – מקדמי הבינום

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

כל מספר במשולש פסקל מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו

המקדמים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{n-k}y^k} המופיעים בביטויים של נוסחת הבינום הם מספרים שלמים חיוביים המכונה מקדמי הבינום.

לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \le k \le n} נגדיר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}

הסימן "!" מציין עצרת, שהיא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד למספר נתון.

• כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n}
• ובאופן דומה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k! = 1 \times 2 \times \cdots \times k} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (n-k)! = 1 \times 2 \times \cdots \times (n-k)}
• כמו כן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0!=1} .

ניתן לכתוב את הנוסחה של מקדם הבינום גם כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-(k-1))}{k!} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}}

אף על פי שנוסחת הבינום מורכבת משבר, הערכים של המקדמים הבינומיים הם תמיד מספרים שלמים.

ניתן לסדר את המקדמים הבינומיים כך שירכיבו יחדיו את משולש פסקל. זהו סידור של מספרים בצורת משולש, שקודקודו העליון מכיל את המספר 1 וכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו, כאשר המספרים שנמצאים על שוקי המשולש הם כולם 1.

ניתן להרכיב את משולש פסקל ממקדמי הבינום של ניוטון, כך שכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו.

למקדמי הבינום שימושים רבים בקומבינטוריקה והסתברות. זאת משום שהמקדם הבינומי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tbinom nk } הוא מספר תת-הקבוצות בגודל k שניתן לבחור מתוך קבוצה בגודל n. כלומר, זהו מספר האפשרויות לבחור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} איברים מתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} , ללא חזרות וללא חשיבות לסדר.

תכונה מעניינת של מקדמי הבינום מתקבלת על ידי הצבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y=1} בנוסחת הבינום:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^n= \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}}

במקרה זה כל החזקות של X ושל Y בבינום הופכות ל-1, וכעת הבינום מבטא למעשה את סכום המקדמים בלבד:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}}

ניתן לראות כי סכום המקדמים (כלומר הסכום של כל שורה ושורה במשולש פסקל) יהיה שווה תמיד לחזקה שלמה של 2.

דוגמאות לשימוש בנוסחת הבינום

ייצוג גרפי למקרה השני של נוסחת הבינום של ניוטון: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

ייצוג גרפי למקרה השלישי של נוסחת הבינום של ניוטון

המקרים הראשונים של הנוסחה הם:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^1=x+y}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2}
• $\ (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^7 = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7}

הוכחות

הוכחה קומבינטורית

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

דוגמה נוספת עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^3} .

ראשית, נשים לב כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^n=(x+y)\cdot(x+y)\cdot\dots\cdot(x+y)} . באגף ימין מופיעים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} ביטויים המוכפלים זה בזה. התוצאה היא סכום של כל המכפלות האפשריות שבהן נבחר איבר אחד מכל אחד מהסוגריים. למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y)^2=(x+y)\cdot(x+y)=x\cdot x+x\cdot y +y\cdot x+y\cdot y=x^2+2xy+y^2} , כשבוחרים את האיבר x מהסוגריים הראשונים ו-x מהשניים, x מהסוגריים הראשונים ו-y מהשניים, וכן הלאה.

מכיוון שהסדר בהכפלת המשתנים אינו חשוב, הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^ky^j} מופיע בכל פעם שבוחרים k פעמים ב-x ו-j פעמים ב-y, ובהכרח k+j=n. לקביעת k המקומות מתוך n שבהם נבחר דווקא x יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {n\choose k}} אפשרויות, ולכן זהו המקדם של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^ky^{n-k}} .

הוכחה באינדוקציה

צריך להוכיח: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^kb^{n-k}}

בדיקה עבור n=1 (ניתן לבדוק גם החל מ-n=0): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b)^1=\sum_{k=0}^1 {1 \choose k}a^kb^{1-k}} .

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^1 {1 \choose k}a^kb^{1-k}={1 \choose 0}a^0b^1+{1 \choose 1}a^1b^0=b+a} .

הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור n=i : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b)^i=\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}} .

ונוכיח נכונות עבור n=i+1: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b)^{i+1}=\sum_{k=0}^{i+1} {i+1 \choose k}a^kb^{i+1-k}} .

הוכחה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a+b)^{i+1}=(a+b)^i(a+b)} . נשתמש בהנחת האינדוקציה ונחליף את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a+b)^i} ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}} . אזי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} (a+b)\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k} & = a\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}+b\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k}= \\ & = \sum_{k=0}^i {i \choose k}a^{k+1}b^{i-k}+\sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1} = \\ & = \sum_{k=1}^{i+1} {i \choose k-1}a^kb^{i-k+1}+ \sum_{k=0}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1} = \\ & = {i \choose i}a^{i+1}b^0+\sum_{k=1}^{i} {i \choose k-1}a^kb^{i-k+1}+{i \choose 0}a^0b^{i+1} + \sum_{k=1}^i {i \choose k}a^kb^{i-k+1} = \\ & = a^{i+1}+b^{i+1}+\sum_{k=1}^i\left({i \choose k-1}+{i \choose k}\right)a^kb^{i-k+1} \\ & = a^{i+1}+b^{i+1}+\sum_{k=1}^{i} {i+1 \choose k}a^kb^{i-k+1}=\sum_{k=0}^{i+1} {i+1 \choose k}a^kb^{i-k+1} \end{align} }

כאשר השתמשנו בזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {i \choose k-1}+{i \choose k} = {i+1 \choose k} } ממשולש פסקל. בכך הושלמה הוכחת צעד האינדוקציה.

מ.ש.ל.

גרסאות של נוסחת הבינום

גרסה פשוטה של נוסחת הבינום מתקבלת על ידי הצבת המספר 1 במשתנה y, כך שהיא תכיל רק משתנה יחיד.

בגרסה זו הנוסחה תראה כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,}

או כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.}

היסטוריה והתפתחות

"משולש פסקל", המשמש להצגת מקדמי הבינום, בספרו של המתמטיקאי הסיני בן המאה ה-13, יאנג חווי

הנוסחה עבור חזקה שלמה הייתה ידועה זמן רב לפני ניוטון. בלז פסקל חקר אותה במהלך המאה ה-17, אך הייתה ידועה גם למתמטיקאים שקדמו לו, ובהם הסיני יאנג חווי בן המאה ה-13, הפרסי עומר ח'יאם בן המאה ה-11, וההודי פינגלה בן המאה ה-3. את הגרסה הכללית, שבה החזקה יכולה להיות מספר כלשהו, פיתח ניוטון בעזרת השיטות של החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שהמציא (במקביל לגוטפריד וילהלם לייבניץ).

המקרה הכללי

ניוטון הראה שלכל r ממשי מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (1+x)^r = \sum_{j=0}^\infty {r \choose j} x^{j}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {r \choose j} = \frac{r (r-1) \cdots (r-j+1)}{j !}} . זהו טור אינסופי, המתכנס אל הערך הנכון לכל x, ותקף גם כאשר r מרוכב. את המקרה הכללי אפשר לחשב לפי $(x+y)^{r}=x^{r}(1+{\tfrac {y}{x}})^{r}$.

אם r טבעי, רק r+1 המקדמים הראשונים שונים מאפס, והטור הוא למעשה סכום סופי.

דוגמאות

עבור r=1/2, מתקבלת הנוסחה השימושית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (1+x) ^ \frac{1}{2} = \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^2 +\dots}

עבור r=-1 מתקבל הטור הגאומטרי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (1+x)^{-1} = \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots}

הוכחה

הוכחת הנוסחה נעשית באמצעות פיתוח טור טיילור עבור הפונקציה המרוכבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(z) = (1+z)^r} .

ראו גם

• התפלגות בינומית
• משפט המולטינום
• נוסחאות הכפל המקוצר

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', הבינום של ניוטון, באתר "לא מדויק", 22 ביוני 2010
• הבינום של ניוטון, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• הבינום של ניוטון, באתר MathWorld (באנגלית)
• הבינום של ניוטון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הבינום של ניוטון32656879Q26708