טרינום

באלגברה אלמנטרית, טרִינוֹם הוא פולינום המורכב משלושה איברים או מונומים.

ביטויים טרינומיים

1. $ 3x+5y+8z $ עם המשתנים $ x,y,z $
2. $ 3t+9s^{2}+3y^{3} $ עם המשתנים $ t,s,y $
3. $ 3ts+9t+5s $ עם המשתנים $ t,s $
4. $ Ax^{a}y^{b}z^{c}+Bt+Cs $ עם המשתנים $ x,y,z,t,s $, $ a,b,c $ מספרים שלמים אי שליליים ו-$ A,B,C $ קבועים ממשיים.
5. $ Px^{a}+Qx^{b}+Rx^{c} $ כש-$ x $ הוא משתנה $ a,b,c $ הם קבועים שלמים אי שליליים ו-$ P,Q,R $ קבועים ממשיים.

משוואה טרינומית

משוואה טרינומית היא משוואה פולינומית הכוללת שלושה איברים. דוגמה לכך היא המשוואה $ x=q+x^{m} $ ‎שנחקרה על ידי יוהאן היינריך למברט במאה ה-18.

מקרה פרטי: טרינום ריבועי

בבתי הספר בישראל פירוק טרינום ריבועי נלמד החל מכיתה ט' כתחליף לנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית. טרינום מסוג זה מיוצג באופן הבא: $ ax^{2}+bx+c $.

במקרים אלו נחפש שני מספרים $ a_{1},\ a_{2} $ המקיימים את השיוויונות $ a_{1}\cdot a_{2}=ac,\ a_{1}+a_{2}=b $.

שכן אז ניתן לפרק כך: $ ax^{2}+bx+c=ax^{2}+a_{1}x+a_{2}x+c=ax(x+{\frac {a_{1}}{a}})+a_{2}(x+{\frac {c}{a_{2}}})=(ax+a_{2})(x+{\frac {a_{1}}{a}}) $.

(השיוויון $ a_{1}\cdot a_{2}=ac $ גורר את השיוויון $ {\frac {a_{1}}{a}}={\frac {c}{a_{2}}} $ ולכן ניתן להוציא את הגורם המשותף $ (x+{\frac {a_{1}}{a}})=(x+{\frac {c}{a_{2}}}) $).

לדוגמה, הפולינום $ x^{2}+3x+2 $ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר הוא 1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם $ x_{1}=-1,\ x_{2}=-2 $. לפי הפירוק הטרינומי:

נחפש שני מספרים $ a_{1},\ a_{2} $ שמקיימים את השיוויונות $ a_{1}+a_{2}=3,\ a_{1}\cdot a_{2}=2 $. המספרים $ a_{1}=1,\ a_{2}=2 $ מקיימים את השיוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך: $ x^{2}+3x+2=x^{2}+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+2)(x+1) $.

ונקבל מהפירוק שהשורשים של הפולינום הם $ x_{1}=-1,\ x_{2}=-2 $.

דוגמה נוספת, הפולינום $ 3x^{2}-2x-5 $ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר שונה מ-1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם $ x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}} $. לפי הפירוק הטרינומי:

נחפש שני מספרים $ a_{1},\ a_{2} $ שמקיימים את השיוויונות $ a_{1}+a_{2}=-2,\ a_{1}\cdot a_{2}=-15 $, המספרים $ a_{1}=-5,\ a_{2}=3 $ מקיימים את השיוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך:

$ 3x^{2}-2x-5=3x^{2}+3x-5x-5=3x(x+1)-5(x+1)=(3x-5)(x+1) $.

ונקבל מהפירוק שהשורשים של הפולינום הם $ x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}} $.

אותה תוצאה יכולה להינתן על ידי חוק רופיני, אך עם תהליך מורכב וארוך יותר.

קישורים חיצוניים

• טרינום, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] טרינום28245211