תורת הקבוצות האקסיומטית

תורת הקבוצות האקסיומטית היא תורה מתמטית המהווה ניסוח אקסיומטי של תורת הקבוצות. אף על פי ששימוש בתורת הקבוצות הנאיבית עדיין רווח במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית היא למעשה התורה שאליה מתכוונים מתמטיקאים בהתייחסם לתורת הקבוצות. ביחד עם לוגיקה וענפים אחרים במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית מהווה חלק עיקרי ביסודות המתמטיקה. כמעט כל התורות המתמטיות יכולות להיבנות כמשפטים מתוך תורת הקבוצות האקסיומטית.

היסטוריה

ב-1901 הראה ברטראנד ראסל, באמצעות הפרדוקס של ראסל ופרדוקסים אחרים, שמושג הקבוצה, שפותח רק שנים ספורות קודם לכך על ידי גאורג קנטור, מכיל סתירות פנימיות (אנטינומיות). אנטינומיות אלה סללו את הדרך לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית. התורה פותחה בעיקר על ידי ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל והיא מתבססת על מערכת ריגורוזית של אקסיומות.

האקסיומות של תורת הקבוצות

לתורת הקבוצות האקסיומטית ישנן גרסאות רבות השונות זו מזו באופן מהותי, אך המפורסמות שבהן הן שתיים: מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF) - המכונה לעיתים מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל-סקולם (ZFS), ומערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתוספת אקסיומת הבחירה (ZFC). ארנסט צרמלו, מתמטיקאי גרמני, היה היוזם העיקרי של המערכת האקסיומטית המקורית ההיסטורית של תורת הקבוצות (מערכת זו מסומנת כרגיל באות Z הפותחת את שם-משפחתו); אברהם הַלֵוִי פרנקל, מתמטיקאי גרמני–ישראלי, (שהאות הראשונה של שם-משפחתו מיוצגת בשמה של המערכת המעודכנת יותר: ZF), הסיר מהמערכת המקורית של צרמלו את אקסיומת הבחירה (השנויה במחלוקת בשל אי היותה קונסטרוקטיבית), ואחר כך גם דאג לכך שאקסיומה אחרת של המערכת המקורית - אקסיומת ההפרדה - תוּמַר באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת ההפרדה): אקסיומת ההחלפה; בעוד אשר תוראלף סקולם דאג לכך שלמערכת תתווסף אקסיומת היסוד (אם כי גם כיום היא לעיתים מושמטת - בהיותה מגבילה וכמעט-בלתי שימושית במקום להיות יצרנית כשאר האקסיומות).

פרט לשתי המערכות הללו, ידועה גם המערכת האקסיומטית המחליפה את אקסיומת הבחירה באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת הבחירה): אקסיומת הרצף המוכללת, וכן ידועה מערכת אקסיומטית אחרת המחליפה את אקסיומת הרצף המוכללת באקסיומה חזקה עוד יותר (הגוררת את אקסיומת הרצף המוכללת ואת אקסיומת היסוד): אקסיומת הבנייה. כל המערכות הללו מבוססות (בצורה זו או אחרת) על המערכת Z, והן מתאפיינות בשתי תכונות חשובות: כל אובייקט המטופל בהן - והאוסף לתוכו אובייקטים - הוא קבוצה, ושום אובייקט המטופל בהן אינו יכול לאסוף לתוכו את כל הקבוצות. בכך שונות המערכות הללו ממערכות אחרות, כגון: המערכת NBG של ג'ון פון נוימן (שמתיחדת בכך שלא כל אובייקט המטופל בה - והאוסף לתוכו אובייקטים - הוא קבוצה, כשבכך מתאפשר למערכת הזו לקיים - למשל - אובייקט שאוסף לתוכו את כל הקבוצות), והמערכות NF ו: ML שפותחו על ידי וילארד ואן אורמאן קוויין (ושמתיחדות בכך שהן מאפשרות למשל את קבוצת כל הקבוצות).

כמעט כל המערכות הידועות - להוציא את המערכת המקורית ההיסטורית Z של צרמלו - מתאפיינות בכך שכל איבר בקבוצה הוא בעצמו קבוצה. במערכות אלו, גם עצמים מתמטיים מוכּרים - כמו מספרים - נדרשים להיות מוגדרים בתור קבוצות.

להלן נדון בעיקר במערכת ZFC, בהיותה השימושית ביותר (והמקובלת ביותר) במתמטיקה.

שבע האקסיומות של ZFC רשומות להלן. במקורן נוסחו האקסיומות כמחרוזות של סמלים לוגיים בשפה לוגית נוקשה; להלן הן תוצגנה לפי משמעותן האינטואיטיבית בשפה בעברית. אקסיומת ההחלפה (כמו גם הגרסה המוחלשת שלה: אקסיומת ההפרדה) היא למעשה סכימה של אקסיומות, הכוללות אקסיומה לכל הצהרה.

1. אקסיומת ההיקפיות: שתי קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים.
2. אקסיומת האיחוד: לכל קבוצה קיים האיחוד שלה. כלומר, לכל קבוצה $x$ קיימת קבוצה $y$ אשר האיברים שלה הם בדיוק האיברים של איברי $x$.
3. אקסיומת האינסוף: קיימת קבוצה אינסופית. פורמלית: קיימת קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , שאינה ריקה, וכך שלכל אבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ששייך אליה, גם הקבוצה {הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} } שייכת אליה.
4. אקסיומת ההחלפה: לכל קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} והצהרה ‎הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(x,y,a\right)} אם כשמציבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=A} ההצהרה מגדירה פונקציה $f$ על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , (זאת אומרת שעובר כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in z} קימת ויחידה קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כך שההצהרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x,y,A)} תיתקיים) אז קיימת קבוצה שהאיברים בה הם בדיוק תמונות האיברים של הקבוצה $z$ תחת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} .
5. אקסיומת קבוצת החזקה: לכל קבוצה קיימת קבוצת החזקה שלה. כלומר, לכל קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} קיימת קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כך שאיברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} הם בדיוק כל תת הקבוצות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .
6. אקסיומת היסוד: כל קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} שאינה ריקה מכילה איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כך ש-$y$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} הן קבוצות זרות.
7. אקסיומת הבחירה: בהינתן קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} של קבוצות זרות הדדית שאינן ריקות, קיימת קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} אשר מכילה בדיוק איבר אחד מתוך כל אחד מאיברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

במקור, צרמלו הוסיף שלוש אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות:

• אקסיומת ההפרדה: לכל קבוצה והצהרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(x\right)} ‎ קיימת תת-קבוצה של הקבוצה המקורית אשר מכילה בדיוק אותם האיברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} בקבוצה המקורית המקיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(x\right)} ‎.
• אקסיומת הזוג הלא סדור: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} הן קבוצות, אז גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{x,y\right\}} , היא קבוצה, אשר המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ואת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} בלבד.
• אקסיומת הקבוצה הריקה: קיימת קבוצה ללא איברים. קבוצה זו מסומנת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{\right\}} או $\emptyset$.

אם מוסיפים למערכת ZFC את שלוש האקסיומות האחרונות הנ"ל של צרמלו, וממה שמתקבל מסירים את אקסיומת היסוד ואת אקסיומת ההחלפה (וכן מרשים שלא כל איבר שבקבוצה יהיה בעצמו קבוצה), אז מתקבלת המערכת המקורית ההיסטורית (Z) של צרמלו.

הערות:

• הניסוח למעלה הוא אחד מבין מספר ניסוחים שקולים למערכת ZFC.
• לעיתים משתמשים בגרסה חזקה יותר של אקסיומת ההחלפה, ולא דורשים שההצהרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} תגדיר פונקציה על כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} אלה רק על חלק מהאיברים שלה (עבור היתר לא תהיה קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} שתקיים את ההצהרה). מערכת האקסיומות בה אקסיומת ההחלפה מנוסחת בגרסה חזקה זו שקולה ל ZFC.
• לעיתים משתמשים בגרסה חלשה יותר של אקסיומת ההחלפה, הדורשת רק שתהיה קבוצה שמכילה את התמונה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . במקרה זה יש צורך להוסיף את אקסיומת ההפרדה כדי לקבל מערכת שקולה ל-ZFC.
• אקסיומת הקבוצה הריקה נובעת מהצירוף של אקסיומת האינסוף עם אקסיומת ההפרדה (למשל על ידי הפרדת כל איברי הקבוצה האינסופית ששונים מעצמם).

קישורים חיצוניים

• קורס בתורת הקבוצות באוניברסיטה העברית
• מאמר מתורגם לעברית מאת אברהם הלוי פרנקל בכתב העת Scripta Universitatis, שנת 1923.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32833321תורת הקבוצות האקסיומטית