אי-שוויון פואנקרה

במתמטיקה, אי-שוויון פונקארה הוא תוצאה בתורת מרחבי סובולב , הנקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה. אי-השוויון מאפשר להשיג חסמים על פונקציה באמצעות חסמים על הנגזרות שלה והגאומטריה של תחום ההגדרה שלה. חסמים כאלה הם בעלי חשיבות רבה בשיטות המודרניות והישירות של חשבון וריאציות. תוצאה קרובה נוספת היא אי-שוויון פרידריכס אשר מהווה הכללה של אי-שוויון פואנקרה על ידי הרחבתו לחסם על נורמת הפונקציה על ידי נורמות של הנגזרות החלשות שלה מסדר כללי.

ניסוח פורמלי של אי-השוויון

נניח $1\le p\le \mathrm{\infty }$ ותהי $U$ תת-קבוצה פתוחה, קשירה וחסומה של ${\mathbb{ℝ}}^n$ עם שפה $C^1$.

עבור פונקציה $f:U\to \mathbb{ℝ}$, נסמן את הממוצע של $f$ על $U$:

$(f{)}_U=\frac{1}{|U|}\underset{U}{\int }f(x)dx$

משפט

קיים קבוע $c=c(n,p,U)$ כך שלכל $f\in W^{1,p}(U)$ מתקיים:

$\Vert f-(f{)}_U{\Vert }_{L^p(U)}\le c\Vert \mathrm{\nabla }f{\Vert }_{L^p(U)}$

הוכחה במקרה החד-ממדי

מקרה פשוט הוא כאשר $n=1$, $p=2$, $f\in C^1$, ו-$U=[-r,r]$.

במקרה זה, לפי משפט ערך הביניים, קיימת נקודה $x_0\in [-r,r]$ כך ש:

$f(x_0)=\frac{1}{|U|}\underset{U}{\int }f(x)dx$

ולכן:

$|f(x)-(f{)}_U|=|f(x)-f(x_0)|=|\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx|\le \underset{U}{\int }|f^{\prime }(x)|dx$

באמצעות אי-שוויון הלדר:

$\underset{U}{\int }|f^{\prime }(x)|dx\le |U{|}^{1/2}{(\underset{U}{\int }|f^{\prime }(x){|}^{2}dx)}^{1/2}$

לכן:

$\Vert f-(f{)}_U{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(U)}\le 2r^{1/2}\Vert f^{\prime }{\Vert }_{L^2(U)}$

ומאחר ש:

$\Vert f-(f{)}_U{\Vert }_{L^2(U)}^2\le \Vert f-(f{)}_U{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(U)}^2\cdot 2r$

נקבל:

$\Vert f-(f{)}_U{\Vert }_{L^2(U)}\le 2r\Vert f^{\prime }{\Vert }_{L^2(U)}$

הוכחת המקרה הכללי מורכבת יותר וניתן למצוא גרסאות שונות שלה בספרות.

קבוע פואנקרה

מעבר למקרה הפשוט שבו $n=1$, יש עניין באפיון הקבוע $c$ במקרה הכללי ובשאלה מתי ניתן לשחזר את הקבוע האופטימלי.

נניח כי $p=2$, כך שהצד הימני של אי-שוויון פואנקרה הוא אנרגיית דיריכלה של $f$.

עקרון המיני-מקס קובע כי הערך העצמי הראשון של הלפלסיאן השלילי על $H_0^1(U)$ ממזער את מנת ריילי . כלומר, כאשר $0<{\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots$ הם הערכים העצמיים של $-\mathrm{\Delta }$,

${\lambda }_1=\underset{f\ne 0}{\inf }\frac{\underset{U}{\int }|\mathrm{\nabla }f{|}^{2}dx}{\underset{U}{\int }|f{|}^{2}dx}$

שוויון זה משחזר את אי-שוויון פואנקרה עם קבוע אופטימלי ${\lambda }_1^{-1}$.

הערה: ${\lambda }_1$ קשור לקבוע צ'יגר , כך שקיימת עוד דרך לקשר בין נושא זה לבין אי-שוויונות איזופרימטריים.

גרסה הסתברותית של אי-השוויון

בספרות על משוואות דיפרנציאליות חלקיות ואנליזה נומרית, ניתן למצוא התייחסויות ל"אִי-שוויוני פואנקרה משוקללים", שבהם:

$d\mu (x)=w(x)dx$

כאשר $w$ היא צפיפות רציפה בהחלט ביחס למידת לבג על תחום חסום. לרוב, אומדנים מסוג זה נובעים משיטות אנליטיות.

עם זאת, קיימת גם גישה הסתברותית.

נניח כי $(M,d)$ הוא מרחב מטרי, ו-$\mu$ היא מידה על קבוצות בורל בו. נניח $p=2$, כך שנורמת ה-$L^2$ של פונקציה מדידה $f$ מתפרשת כשונות של המשתנה המקרי $f$.

למחלקה מסוימת של פונקציות מדידות $f$ על $(M,d)$, מתקיים קבוע $C$ כך ש:

${\mathrm{Var}}_{\mu }(f)\le C{\mathbb{𝔼}}_{\mu }(|\mathrm{\nabla }f{|}^2)(1)$

אי-שוויון זה מצביע על כך שהתנודות של $f$ נשלטות על ידי קצב השינוי שלה. בפרט, אם $f$ היא פונקציית ליפשיץ, אז שונותה חסומה על ידי קבוע.

באופן דומה למקרה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, "רגולריות" (באמצעות נגזרת ראשונה) מובילה לחסם אנרגטי המגביל את התנהגות הפונקציה או המערכת.

חסמים על שונות מאפשרים לפתח אי-שוויוני ריכוז, אשר מגבילים את ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת. אי-שוויונים אלו מהווים כלי בסיסי בסטטיסטיקה ובלמידת מכונה (למשל, למידת PAC,תורת VC ).

אי-שוויון פואנקרה גאוסי

משפט (GPI)

תהי $\mu$ המידה הגאוסית הסטנדרטית על $M={\mathbb{ℝ}}^n$.

נניח כי $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ היא פונקציה גזירה מדרגה ראשונה ($C^1$). אזי מתקיים אי-שוויון (1) עם קבוע $C=1$.

נשים לב כי אי-שוויון זה הדוק.

נבחן את הפונקציה $f(x)=x_1+x_2+\cdots +x_n$ ונשים לב כי $\mu$ היא מידת מכפלה, כלומר אין שונות משותפת בין האיברים השונים.

הוכחה

ניתן להשתמש באי-שוויון אפרון-שטיין להוכחת הגרסה הגאוסית.

אי-שוויון אפרון-שטיין קובע:

$\mathrm{Var}(f(X))\le \mathbb{𝔼}[\sum _{i=1}^n{\mathrm{Var}}_i(f(X))]$

נסמן ב-${\mathbb{𝔼}}_i$ את התוחלת ביחס לקואורדינטה ה-$i$, כלומר:

${\mathbb{𝔼}}_{i}f(X)=\mathbb{𝔼}[f(X)\mid X_1,\dots ,X_{i-1},X_{i+1},\dots ,X_n]$

וכן נסמן את השונות המותנית כך:

${\mathrm{Var}}_{i}f(X)={\mathbb{𝔼}}_i\left[{(f(X)-{\mathbb{𝔼}}_{i}f(X))}^2\right]$

נניח כי $X\sim \mu$ כך ש-${\mathrm{Var}}_{\mu }(f)=\mathrm{Var}(f(X))$.

נניח $\mathbb{𝔼}|\mathrm{\nabla }f(X){|}^2<\mathrm{\infty }$, שכן אחרת התוצאה מתקיימת באופן טריוויאלי.

מספיק לשקול את המקרה $n=1$, מאחר שאי-שוויון אפרון-שטיין מאפשר לנתח כל קואורדינטה בנפרד. בנוסף, נניח כי $f$ היא פונקציה בעלת תומך קומפקטי וגזירה ברציפות פעמיים ($C^2$); אחרת, ניתן לקרב אותה על ידי פונקציות כאלה.

התובנה המרכזית היא שמשתנה גאוסי $X$ ניתן להצגה כגבול של סכום משתנים מקריים בעלי תוחלת 0 ושונות 1. לכן, כדי לחקור את השונות של פונקציה של $X$, צריך לבחון את השונות של פונקציה של סכומים סופיים.

לשם כך, יהיו ${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n$ משתנים מקריים, בעלי התפלגות ראדמאכר, בלתי תלויים. ונסמן:

$S_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^n{ϵ}_j$

לכל $i$, השונות המותנית היא:

${\mathrm{Var}}_{i}f(S_n)=\frac{1}{4}{[f(S_n-\frac{{ϵ}_i}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}})-f(S_n-\frac{{ϵ}_i}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]}^2$

ניישם את אי-שוויון אפרון-שטיין:

$\mathrm{Var}(f(S_n))\le \frac{1}{4n}\sum _{i=1}^n\mathbb{𝔼}{[f(S_n-\frac{{ϵ}_i}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}})-f(S_n-\frac{{ϵ}_i}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]}^2$

לפי משפט הגבול המרכזי מתקיים $S_n\Rightarrow {𝒩}(0,1)$, ולכן $\mathrm{Var}(f(S_n))\to \mathrm{Var}(f(X))$.

נסמן $K=\underset{x}{\sup }|f^{″}(x)|$. לפי משפט טיילור:

$|f(S_n-\frac{{ϵ}_i}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}})-f(S_n-\frac{{ϵ}_i}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}})|\le \frac{2}{\sqrt{n}}|f^{\prime }(S_n)|+\frac{2K}{n}$

ולבסוף, שוב לפי משפט הגבול המרכזי:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{1}{4n}\sum _{i=1}^n\mathbb{𝔼}\left[{(f(S_n-\frac{{ϵ}_i}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}})-f(S_n-\frac{{ϵ}_i}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}))}^2\right]\le \mathbb{𝔼}[f^{\prime }(X{)}^2]$

וזה מסיים את ההוכחה.

קיימות גישות נוספות להוכחת אי-השוויון, כגון הוכחה על ידי שימוש בחבורות למחצה של מארקוב.

ראו גם

• אי-שוויון פרידריכס
• אי-שוויון קורן

לקריאה נוספת

• Poincaré Inequalities
• Weak Poincaré Inequalities and L2-Convergence Rates of Markov Semigroups

• Michel Ledoux and Michel Talagrand, Probability in Banach Spaces: Isoperimetry and Processes, Springer, 1991.
• ֿRamon van Handel, Probability in High Dimension, Princeton Lecture Notes, 2016.
• Fan R. K. Chung, Spectral Graph Theory, American Mathematical Society, 1997.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון פואנקרה41458565Q1751496