סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה $S$ השייכת למרחב $X$ הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את $S$ .

מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי $S$ ואת כל הנקודות ה"נוגעות" בקבוצה $S$ .

נהוג לסמנו בסימונים $\text{Cl}(S),\overline{S}$ .

הגדרה פורמלית

יהי $X$ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהי $S\subseteq X$ קבוצה. אם $\mathrm{\Lambda }$ היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות $S\subseteq A\subseteq X$ , אזי הסגור של $S$ יוגדר על ידי:

$\overline{S}=\text{Cl}(S)=\bigcap _{A\in \mathrm{\Lambda }}A$

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

• $\text{Cl}(S)$ היא קבוצת כל האיברים של $X$ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של $S$ (לא בהכרח שונה מהם).
• $\text{Cl}(S)=S\cup S^{\prime }$ , כאשר $S^{\prime }$ היא הקבוצה הנגזרת של $S$ .
• הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: $\text{Cl}(A)=(\text{Int}(A^c){)}^c$ .

דוגמאות

• הסגור של קטע פתוח $(a,b)$ הוא הקטע הסגור $[a,b]$ .
• הסגור של קבוצת המספרים הרציונליים $\mathbb{\mathbb{Q}}$ הוא הישר הממשי כולו $\mathbb{ℝ}$ .

תכונות הנוגעות לסגור

• כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: $A=\text{Cl}(A)$ . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן $\text{Cl}(A)=\text{Cl}(\text{Cl}(A))$ .
• $A\subseteq B\Rightarrow \text{Cl}(A)\subseteq \text{Cl}(B)$
• $\text{Cl}(A\cap B)\subseteq \text{Cl}(A)\cap \text{Cl}(B)$
• $\text{Cl}(A\cup B)=\text{Cl}(A)\cup \text{Cl}(B)$
• $f$ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל $A$ בתחום שלה מתקיים $f(\text{Cl}(A))\subseteq \text{Cl}(f(A))$ . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
• אם $A$ קבוצה קשירה, לכל $A\subseteq B\subseteq \text{Cl}(A)$ מתקיים שגם $B$ קבוצה קשירה.
• קבוצה $A$ במרחב $X$ המקיימת $\text{Cl}(A)=X$ נקראת קבוצה צפופה.
• קבוצה $A$ במרחב $X$ המקיימת $\text{Int}(\text{Cl}(A))=\varnothing$ נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.

סגור_(טופולוגיה)19126793Q320346