קבוצה ממידה אפס

קבוצה בעלת מידה אפס היא קבוצה שמידת לבג שלה היא אפס. אינטואיטיבית זוהי קבוצה ש"אורכה" 0, היא קטנה כל כך עד כדי כך שהיא איננה משפיעה אינטגרל לבג של פונקציות המוגדרות בקבוצה כלשהי המכילה אותה.

הגדרה פורמלית

באופן ישיר, נאמר שקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} בישר הממשי היא בעלת מידה אפס או קבוצת אפס אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \varepsilon >0} קיים כיסוי בן-מניה של קטעים פתוחים המכסה את $\ E$ ושסכום אורכיו קטן מאפסילון. כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \forall \varepsilon > 0 : \ \exist \{ I_n \}_{n=1}^{\infty} \ \mbox{intervals} \ \mbox{such that}\ : \ E \subset \bigcup_{n}{I_n} \land \ \sum_{n}{|I_n|} < \varepsilon }

עבור מידה שלמה (ומידת לבג היא שלמה) כל קבוצה בעלת מידה אפס היא מדידה, וכך גם כל תת-קבוצה שלה מדידה ובעלת מידה אפס.

משמעות

כאמור בתחילת הערך, המשמעות האינטואיטיבית של היות קבוצה בעלת מידה אפס היא שהקבוצה "זניחה" כך שהיא איננה משפיעה על תכונות אינטגרליות (במובן לבג) של הפונקציה.

• למשל: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן אם ורק אם קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g} אינטגרביליות רימן, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} נבדלת מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g} רק על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, אזי אינטגרל רימן של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} שווה לאינטגרל רימן של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g} .
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} נבדלת מ-$\ g$ רק על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס אזי אינטגרל לבג של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} שווה לאינטגרל לבג של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g} .
• פונקציה מונוטונית גזירה כמעט בכל מקום, כלומר: קבוצות הנקודות שבהן הפונקציה לא גזירה היא קבוצה בעלת מידה אפס.

דוגמאות לקבוצות בעלות מידה אפס

להלן מספר דוגמאות ומקרים כלליים של קבוצות בעלות מידה אפס:

• הקבוצה הריקה
• נקודה בודדת בישר הממשי.
• כל קבוצה בעלת מספר סופי של איברים.
• כל קבוצה בת מנייה בישר הממשי.
  • הוכחה: יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon > 0} ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{ x_n \}_{n=1}^{\infty}} מניה של איברי הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A} . כל איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,x_n} נכסה בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I_n} הממורכז סביבו שאורכו הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\varepsilon}{2} \cdot 2^{-n}} , ברור ש-$\ A\subset \bigcup _{n}{I_{n}}$ וכמו כן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{n}{| I_n |} = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\varepsilon}{2} 2^{-n}} = \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon} (סכום טור הנדסי) ולכן כיסינו את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A} באמצעות רווחים שאורכם הכולל קטן מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\varepsilon} . מ.ש.ל.
• קבוצת קנטור: זו דוגמה לקבוצה בעלת מידה אפס אף על פי שהיא איננה בת-מנייה אלא עוצמתה היא עוצמת הרצף.
• קבוצת המספרים שאינם נורמליים: גם זו קבוצה בעלת מידה אפס שאינה בת מנייה.
• ישר הוא קבוצה ממידה אפס במישור (כאשר מידת לבג היא הכללה של שטח).
• באופן יותר כללי, קבוצת הנקודות של כל יריעה אלגברית ואף כל יריעה אנליטית ממימד קטן מ-n ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}^n} היא ממידה אפס.

ראו גם

• מידה (מתמטיקה)
• מידת לבג
• כמעט בכל מקום
• קבוצה דלילה (אפיון טופולוגי לקבוצה זניחה)