נקודת הצטברות

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה ובאנליזה מתמטית, $x$ היא נקודת הצטברות של קבוצה $A$ אם בכל סביבה של $x$ קיימת לפחות נקודה אחת פרט ל-$x$ השייכת ל-$A$ .

למשל, נקודות ההצטברות של קטע הן נקודות הקטע וכן הקצוות שלו.

במרחבים מטריים, אם נקודה כלשהי היא נקודת הצטברות של קבוצה, נובע מכך שבכל סביבה שלה קיימים אינסוף איברים מהקבוצה, והנקודה היא גם נקודת גבול של הקבוצה. תכונה זו מתקיימת במרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה, אבל לא בכל מרחב טופולוגי.

הגדרה

תהי $A$ קבוצה במרחב טופולוגי $X$ . נקודה $x\in X$ היא נקודת הצטברות של $A$ אם היא שייכת לסגור של הקבוצה $A-\{x\}$ .

פירושו של דבר הוא שבכל קבוצה פתוחה $U$ המכילה את $x$ מצויה נקודה נוספת אחת לפחות של $A$ .

את אוסף נקודות ההצטברות של $A$ מסמנים $A'$ ; בשל סימון זה, אוסף נקודות ההצטברות נקרא לפעמים "הקבוצה הנגזרת" של $A$ .

סגור ונקודות הצטברות

אפיון קבוצה סגורה

נקודות הצטברות מופיעות כאפיון נוח לקבוצות סגורות: קבוצה $A$ היא סגורה אם ורק אם היא כוללת את כל נקודות ההצטברות שלה.

הוכחה

כיוון ראשון – תהי $A$ קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. יש להוכיח כי המשלים $A^{c}$ הוא קבוצה פתוחה.

תהי נקודה $x\in A^{c}$ , אזי $x$ איננה נקודת הצטברות של $A$ ולכן קיימת סביבה שאינה מכילה אף נקודה מ-$A$ . סביבה זו מוכלת ב-$A^{c}$ , ולכן $x$ שייכת לפנים של $A^{c}$ .

הוכחנו שכל הנקודות ב-$A^{c}$ שייכות לפנים שלו, ולכן $A^{c}$ קבוצה פתוחה.

כיוון שני – נניח כי $A$ סגורה, ותהי $x$ נקודת הצטברות של $A$ .

נניח בשלילה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\notin A} . מכיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^c} קבוצה פתוחה, זוהי סביבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ולכן החיתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cap A^c} אינו ריק – בסתירה להגדרת קבוצה משלימה.

מכאן שנקודת ההצטברות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in A} .

אפיון הסגור

עבור כל קבוצה, הסגור שלה ניתן לייצוג על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Cl}(A)=\bar A=A\cup A'} . נוכיח זאת תוך שימוש בתכונה שהראינו לעיל:

כיוון ראשון – תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} קבוצה סגורה המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . נראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} מכילה גם את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A'} .

ברור כי כל נקודת הצטברות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} היא גם נקודת הצטברות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} (כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq R} ), ומכיוון ש-$F$ סגורה היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A'\subset F} .

מכיוון שהסגור הוא חיתוך כל הקבוצות הסגורות המכילות את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cup A'\subset\bar A} .

כיוון שני – ברור כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cup A'} קבוצה סגורה (כי היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה), והרי הסגור של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מוכל בכל קבוצה סגורה המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar A\subset A\cup A'} .

משתי ההכללות נובע השוויון המבוקש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar A=A\cup A'} .

צורת הצגה זו שימושית ונוחה יותר לחישוב הסגור יותר מאשר באמצעות הגדרתו (כקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ).

ראו גם

• סגור (טופולוגיה)
• שפה (טופולוגיה)
• נקודת גבול