פורטל:מתמטיקה/משפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

אי-שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע גאומטרי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון גילה והוכיח אוגוסטן לואי קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני אי-השוויונות שלכל קבוצה $a_1,\dots ,a_n$ של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים

$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}\le \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le \frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$

כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים $a_1,\dots ,a_n$ שווים זה לזה.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים