פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא פונקציה שניתנת להבעה כמנת פולינומים.

קבוצת הפונקציות הרציונליות היא שדה השברים של חוג הפולינומים.

הגדרה פורמלית

נאמר שפונקציה $f (x)$ רציונלית אם היא מהצורה $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ כאשר $P (x)$ ו- $Q (x)$ הן פולינומים כך של- $Q (x)$ יש לפחות מקדם אחד שונה מ- $0$ . הפונקציה $f$ מוגדרת בכל נקודה בה $Q$ שונה מאפס.

פונקציה רציונלית היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית.

דוגמאות

הפונקציה $\frac{3 x^{5} + 6 x - 1}{2 x - 9}$ היא פונקציה רציונלית, ולעומת זאת $\cos (x)$ אינה פונקציה רציונלית, משום שלא ניתן לבטא אותה כמנת פולינומים, גם $\sqrt{x} + 2 \sqrt[4]{x}$ איננה רציונלית (היא לא פולינום כי המעריכים של $x$ אינם שלמים).

נגזרת של פונקציה רציונלית

תהיינה $f (x), g (x)$ גזירות כאשר $g (x) \neq 0$ . את הנגזרת של הפונקציה הרציונלית $\frac{f (x)}{g (x)}$ מקבלים על די הנוסחה $(\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{f^{'} (x) g (x) - g^{'} (x) f (x)}{g (x)^{2}}$ .

אסימפטוטות

ערך מורחב – אסימפטוטה

בניגוד לפונקציה ללא מנה כמו פונקציית פולינום, או פונקציית שורש ללא מנה, בפונקציות עם מנה ייתכנו אסימפטוטות, שהן ישרים אליהן הפונקציה שואפת להגיע, כאשר $x \to \infty$ או $x \to - \infty$ .