פולינומי צ'בישב

המונח פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתייחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון $T_{0} (x), T_{1} (x), \dots$ , ופולינומי צ'בישב מהסוג השני $U_{0} (x), U_{1} (x), \dots$ , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $p (x)$ מקיים את האי-שוויון $\max_{- 1 \leq x \leq 1} | p (x) | \geq 2^{1 - n}$ , והפולינומים $2^{1 - n} T_{n} (x)$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

סימונים ומוסכמות

בערך זה נסמן ב- $ℕ$ את קבוצת המספרים הטבעיים החל מ-1, וכן נסמן $ℕ_{0} : = ℕ \cup {0}$ , כלומר קבוצת המספרים הטבעיים ואפס.

כמו כן, נסמן ב- $ℤ$ ,‏ $ℚ$ , ‏ $ℝ$ ו- $ℂ$ את קבוצות המספרים השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה.

לבסוף, כלל הפונקציות הטריגונומטריות בערך זה מחושבות ברדיאנים.

מבוא ומוטיבציה

באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי לכל מספר טבעי $k \in ℕ$ ולכל זווית ממשית $θ \in ℝ$ מתקיימות הזהויות הבאות:

$\cos ((k + 1) θ) = \cos (k θ + θ) = \cos (k θ) \cos θ - \sin (k θ) \sin θ$

$\cos ((k - 1) θ) = \cos (k θ - θ) = \cos (k θ) \cos θ + \sin (k θ) \sin θ$

על-ידי סכימת שתי המשוואות והעברת אגפים מתקבל כי:

$\cos ((k + 1) θ) = 2 \cos (k θ) \cos θ - \cos ((k - 1) θ)$

זהות זו, ביחד עם העובדה כי $\cos (0 \cdot θ) = 1$ מעידה על כך שכל פונקציה מהצורה $\cos (n θ)$ עבור $n \in ℕ$ ניתנת לחישוב כצירוף ליניארי של חזקות של $\cos θ$ .

כלומר, לכל $n \in ℕ$ קיים פולינום במקדמים שלמים $T_{n} (x) \in ℤ [x]$ כך שלכל $θ \in ℝ$ מתקיים השוויון $T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$ .

פולינומים אלו נקראים פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון.

באופן זהה, בעקבות הזהות $\sin ((k + 1) θ) = 2 \sin (k θ) \cos θ - \sin ((k - 1) θ)$ , ניתן להוכיח כי לכל $n \in ℕ$ קיים פולינום במקדמים שלמים $U_{n} (x) \in ℤ [x]$ כך שמתקיים שלכל $θ \in ℝ$ השוויון $U_{n} (\cos (θ)) \sin θ = \sin ((n + 1) θ)$ .

פולינומים אלו נקראים פולינומי צ'בישב מהסוג השני.

הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$ , שבגללה $T_{n} (x + x^{- 1}) = x^{n} + x^{- n}$ לכל $x$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

\begin{aligned} T_{0} (x) & = 1 \\ T_{1} (x) & = x \\ T_{n + 1} (x) & = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x) \end{aligned}

מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- $n$ -י היא $n$ .

מן ההגדרה נובע כי $T_{n} (T_{m} (x)) = T_{n m} (x)$

באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה

T_{n} (x) = \frac{(x + \sqrt{x^{2} - 1})^{n} + (x - \sqrt{x^{2} - 1})^{n}}{2} = \sum_{k = 0}^{⌊ 0.5 n ⌋} (\binom{n}{2 k}) (x^{2} - 1)^{k} x^{n - 2 k}

ולקבל את הפונקציה היוצרת

\sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) t^{n} = \frac{1 - t x}{1 - 2 t x + t^{2}}

מתקיים גם השוויון $T_{n} (x) = 1 + n^{2} (x - 1) \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 + \frac{x - 1}{2 \sin (\frac{k π}{n})^{2}})$ .

פולינומי צ'בישב ${T_{n}}_{n = 0}^{\infty}$ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת $⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} f_{1} (x) f_{2} (x) d x$ .

הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני

כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות. ניתן להגדיר את סדרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית $U_{n} (\cos θ) \sin θ = \sin ((n + 1) θ)$

בנוסף, קיימת הנוסחת הנסיגה הבאה: $\begin{aligned} U_{0} (x) & = 1 \\ U_{1} (x) & = 2 x \\ U_{n + 1} (x) & = 2 x U_{n} (x) - U_{n - 1} (x) . \end{aligned}$ אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש $U_{1} (x) = 2 x$ ולאומת זאת, $T_{1} (x) = x$ .

רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים

להלן רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים משני הסוגים:


$U_{n} (x)$	$T_{n} (x)$	$n$
$1$	$1$	$n = 0$
$2 x$	$x$	$n = 1$
$4 x^{2} - 1$	$2 x^{2} - 1$	$n = 2$
$8 x^{3} - 4 x$	$4 x^{3} - 3 x$	$n = 3$
$1 6^{4} - 12 x^{2} + 1$	$8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$	$n = 4$
$32 x^{5} - 32 x^{3} + 6 x$	$16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$	$n = 5$
$64 x^{6} - 80 x^{4} + 24 x^{2} - 1$	$32 x^{6} - 48 x^{4} + 18 x^{2} - 1$	$n = 6$

תכונות וזהויות

זוגיות ואי-זוגיות

לכל מספר טבעי $n \in ℕ$ ולכל מספר ממשי $x \in ℝ$ מתקיים ש:

$T_{n} (- x) = (- 1)^{n} T_{n} (x)$

$U_{n} (- x) = (- 1)^{n} U_{n} (x)$

כלומר, פולינומי צ'בישב הם פונקציות זוגיות עבור $n$ זוגי ואי-זוגיות עבור $n$ אי-זוגי.

זהויות טריגונומטריות והיפרובוליות

לכל $n \in ℕ$ ולכל $θ \in ℝ$ פולינומי צ'בישב מקיימות את הזהויות הטריגונומטריות:

$T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$

$U_{n} (\cos (θ)) \sin θ = \sin ((n + 1) θ)$

על-ידי החלפת $θ$ ב- $i θ$ ניתן להוכיח כי מתקיימות הזהויות הבאות עבור הפונקציות ההיפרבוליות:

$T_{n} (\cosh (θ)) = \cosh (n θ)$

$U_{n} (\cosh (θ)) \sinh θ = \sinh ((n + 1) θ)$

נגזרות

הנגזרות של פולינומי צ'בישב מקיימות את הזהויות הבאות:

$\frac{d T_{n} (x)}{d x} = n U_{n - 1} (x)$

$\frac{d U_{n} (x)}{d x} = \frac{(n + 1) T_{n + 1} (x) - x U_{n} (x)}{x^{2} - 1}$

ערכים מיוחדים

ערכים ידועים

ניתן להוכיח כי לכל $n \in ℕ$ , הפולינומים $T_{n} (x)$ ו- $U_{n} (x)$ מקבלים את הערכים הבאים:


$U_{n} (x)$	$T_{n} (x)$	$x$
$U_{n} (1) = n + 1$	$T_{n} (1) = 1$	$x = 1$
$U_{2 n - 1} (1) = 0$	$T_{2 n - 1} (1) = 0$	$x = 0$
$U_{2 n} (1) = (- 1)^{n}$	$T_{2 n} (1) = (- 1)^{n}$	$x = 0$
$U_{n} (- 1) = (n + 1) \cdot (- 1)^{n}$	$T_{n} (- 1) = (- 1)^{n}$	$x = - 1$

שורשים

באמצעות הזהות הטריגונומטרית $T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$ , ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס $\cos θ$ הם מהצורה $θ = \frac{π}{2} + π k$ לכל $k \in ℤ$ , עולה כי השורשים של הפולינום $T_{n} (x)$ הם $x_{k} : = \cos (\frac{1 + 2 k}{2 n} \cdot π)$ עבור $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ . לפי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום מדרגה $n$ יש בדיוק $n$ שורשים, ולכן אלו הם בדיוק כל השורשים של הפולינום $T_{n} (x)$ .

באופן דומה, מאחר ומתקיימת הזהות הטריגונומטרית $U_{n} (\cos (θ)) \sin θ = \sin ((n + 1) θ)$ , ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס $\sin θ$ הם מהצורה $θ = π k$ לכל $k \in ℤ$ , עולה כי השורשים של הפולינום $U_{n} (x)$ הם $x_{k} : = \cos (\frac{k}{n + 1} \cdot π)$ עבור $k = 1, 2, \dots, n$ . גם כאן מדובר בכל השורשים של הפולינום $U_{n} (x)$ .

ערכי קיצון

באמצעות העובדה כי $\frac{d T_{n} (x)}{d x} = n U_{n - 1} (x)$ , ערכי הקיצון של הפולינום $T_{n} (x)$ נמצאים ב- $x_{k} : = \cos (\frac{k}{n} \cdot π)$ עבור $k = 1, 2, \dots, n - 1$ . בנקודות אלו $T_{n} (x_{k}) = (- 1)^{k}$ . אם מוסיפים לכך ש- $T_{n} (1) = 1$ וש- $T_{n} (- 1) = (- 1)^{n}$ עולה כי בתחום $- 1 \leq x \leq 1$ , כל פולינומי צ'בישב חסומים בין $- 1$ ל- $1$ .

השלכות לבניות גאומטריות

מכך שמעלת $T_{n}$ היא $n$ נובע כי $\cos (θ)$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $ℚ [\cos (n θ)]$ , ובפרט הממד $[ℚ [\cos (θ)] : ℚ [\cos (n θ)]] \leq n$ . אם בוחרים $θ = \frac{π}{2 n}$ מתקבל $T_{n} (\cos (θ)) = 0$ , ולעיתים קרובות $T_{n}$ הוא הפולינום המינימלי של $\cos (\frac{π}{2 n})$ .

שימושים

הוכחת אלגבריות של ערכי פונקציות טריגונומטריות

בהינתן מספר רציונלי $r \in ℚ$ ניתן להשתמש בפולינומי צ'בישב כדי להוכיח ש- $α : = \cos (r π)$ הוא מספר אלגברי. מאחר ו- $r$ רציונלי, קיימים $p \in ℤ, q \in ℕ$ כך ש- $r = \frac{p}{q}$ . לכן:

$T_{2 q} (α) = T_{2 q} (\cos (\frac{p}{q} π)) = \cos (2 q \cdot \frac{p}{q} π) = \cos (2 p π) = 1$

משמע ש- $α$ הוא שורש של הפולינום $T_{2 q} (x) - 1$ , ולכן הוא אלגברי.

ניתן להשתמש בשיטות דומות כדי להוכיח כי $\sin (r π)$ ו- $\tan (r π)$ אף הם אלגברים.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פולינומי צ'בישב בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פולינומי צ'בישב41677096Q619511