אינדוקציה מתמטית

גישת האינדוקציה המתמטית מומחשת לעיתים באמצעות האפקט הסדרתי של אבני דומינו נופלות.

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

אינדוקציה מתמטית היא שיטה לוגית המאפשרת להוכיח שתכונה מסוימת משותפת לכל המספרים הטבעיים. ההוכחה באינדוקציה מורכבת משתי טענות: ראשית, שהמספר 1 מקיים את התכונה, ושנית, שאם מספר טבעי $n$ מקיים אותה, אז גם המספר $n+1$ מקיים אותה. גמישותה של שיטת האינדוקציה הפכה אותה לאחד מכלי ההוכחה החזקים ביותר בארגז הכלים של כל מתמטיקאי.

היסטוריה

את המונח "אינדוקציה מתמטית" הציע הלוגיקן אוגוסטוס דה-מורגן, כשכתב את הערך "אינדוקציה (מתמטיקה)" בציקלופדיית פני ב-1838, ^[1] אך השיטה עצמה הופיעה אצל מחברים רבים קודם לכן. בלז פסקל עסק במשולש פסקל, המוגדר במונחים קומבינטוריים, והוכיח תכונות יסוד שלו, כמו העובדה שכל מקדם שווה לסכום שני המקדמים שמעליו במשולש. אצל פסקל, ב-1654, הופיעה האינדוקציה לראשונה, באופן מפורש ובסגנון מודרני^[2]. ההיסטוריון של המתמטיקה פלוריאן קג'ורי^[1]מצא סימנים של הוכחות עם טיעון חוזר, המזכירות את שלבי האינדוקציה הראשונים (ראו להלן) כבר אצל קאמפאנוס (1260) ואצל פרוקלוס (410-485), אבל סיכם שהוכחות אלו "אינן אינדוקציה".

הדגמת הטענה "סכום $n$ המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא המספר הריבועי העומד במקום $n$ "

גאורג קנטור, ב-1902, מייחס את שיטתו של פסקל למאורוליקוס, שספרו "אריתמטיקה" פורסם ב-1575^[3]. מאורוליקוס בנה בספר טבלאות של מספרים "מיוחדים", כגון זוגיים, אי-זוגיים, משולשיים וריבועיים, והבחין בתכונות שונות שלהן. לאחר שהוכיח את טענה XIII בספר, ש"כל ריבוע שמוסיפים לו את המספר האי-זוגי הבא שווה לריבוע הבא" (היינו $n^{2}+(2n+1)=(n+1)^{2}$ ), הוא הוכיח את הטענה ה-XV, "סכום $n$ המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא המספר הריבועי העומד במקום $n$ " (בלשון מודרנית, $1+3+\cdots +(2n-1)=n^{2}$ ), כך: "המספר הריבועי הראשון, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הבא, נותן את הריבוע הבא (4); והמספר הריבועי השני, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הבא (5), נותן את הריבוע השלישי (9); וכך, המספר הריבועי השלישי, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הרביעי (7), נותן את המספר הריבועי הרביעי (16); וכך באופן עוקב עד אינסוף הטענה מוכחת באמצעות הפעלה חוזרת של טענה XIII".

הרב ד"ר נחום רבינוביץ'^[4] טען שרבי לוי בן גרשום (הרלב"ג, 1288-1344) היה "הכותב הראשון שהשתמש באינדוקציה באופן שיטתי, ושהכיר בה כהליך מתמטי נפרד". לוי בן גרשום כתב כמה ספרי הערות על "יסודות" של אוקלידס; בספר "מעשה חושב" (1321) הוא באר את הספרים השביעי, השמיני והתשיעי של אוקלידס, והוכיח תוצאות קומבינטוריות משל עצמו. לשיטה של עלייה צעד אחר צעד ששימשה אותו בהוכחות הוא העניק את השם העברי "הדְרגה". רבינוביץ' הציע שהרלב"ג יכול היה לשאוב את רעיונותיו מפירושו של שבתי דונולו (913-970) לספר יצירה, שמנה תמורות והסביר כיצד לחשב (רקורסיבית) את מספר התמורות של 3 עצמים מזה של 2 עצמים, של 4 מזה של 3, של 5 מזה של 4, וכן הלאה, עד לתמורות של 7 עצמים (אותן הוא מנה אחת לאחת).

עיקרי הטיעון

להוכחה באינדוקציה שני חלקים. ראשית, מראים שהמספר 1 מקיים את התכונה המבוקשת (זהו בסיס האינדוקציה), ושנית, שאם המספר $n$ מקיים אותה, אז גם המספר $n+1$ מקיים אותה (צעד האינדוקציה). בשפה פורמלית, אקסיומת האינדוקציה קובעת שלכל פסוק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big[P(1)\and\forall k:P(k)\ \Rarr\ P(k+1)\Big]\implies P(n):\forall n\in\N} כלומר, אם המספר 1 מקיים את התכונה, ומנכונותה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} נובעת הנכונות ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} , אז כל המספרים הטבעיים מקיימים את התכונה.

מבנה ההוכחה

מבנה ההוכחה באינדוקציה תמיד זהה: בדיקה למקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=1} , הנחה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} כללי, והוכחה שמההנחה נובעת נכונות הטענה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} .

בין השגיאות הנפוצות בהוכחות באינדוקציה: הוכחת צעד האינדוקציה ללא הבסיס (צעד האינדוקציה תקף באופן ריק גם לתכונות שאף מספר אינו מקיים), או הוכחת צעד האינדוקציה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n>2} בלבד (כפי שמדגים פרדוקס הסוסים). הנוסח המתאר את צעד האינדוקציה בספרים אחדים "נניח שהוכחנו את הטענה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , ונוכיח אותה עבור $n+1$ ", פגום: אם הוכחנו את הטענה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} כללי, אין עוד צורך להוכיח דבר; ואם כך, ניסוח זה של צעד האינדוקציה נכון באופן ריק, ולא ניתן להסיק ממנו דבר.

וריאציות

כדי להוכיח באינדוקציה שטענה מסוימת נכונה לכל המספרים הטבעיים ממספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} ואילך, אפשר להוכיח שהיא נכונה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} , ושמן הנכונות עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} נובעת הנכונות עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} . כך אפשר למשל להוכיח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^n>3n^4} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\ge19} (למרות שהטענה אינה נכונה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n<19} ).
אינדוקציה שלמה. לפעמים נכונות טענה $P$ עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} אינה נובעת מן הנכונות עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , אלא מן הנכונות עבור כל המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,\ldots,n} (למשל, כשרוצים להוכיח שכל מספר שלם מתפרק לגורמים ראשוניים).

במקרה כזה, אפשר להחליף את התכונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} בתכונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} , המוגדרת לפי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q(n)\iff\forall m:\Big(m\le n\implies P(m)\Big)}

לאמר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q(n)} אם ורק אם כל הטענות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(1),\ldots,P(n)} נכונות, ולהפעיל את טיעון האינדוקציה הרגיל על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} . שיטה זו נקראת "אינדוקציה שלמה" על התכונה

P

.

אינדוקציה כפולה (או משולשת וכן הלאה). כאשר הטענה היא על זוגות מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(n,m)} , אפשר להוכיחה לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} באינדוקציה (רגילה) על הפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , כאשר בסיס האינדוקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(n,1)} מוכח באינדוקציה על הפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . לחלופין, אפשר להעזר בצעד האינדוקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(n-1,m)\and P(n,m-1)\implies P(n,m)} , כבדוגמא 3 להלן.
עקרון האינדוקציה חל לא רק על המספרים הטבעיים, אלא על כל קבוצה סדורה היטב. כאשר מדובר בקבוצה שהסודר שלה גדול מזה של המספרים הטבעיים, קוראים לתהליך אינדוקציה טרנספיניטית.
יש הוכחות הכרוכות ב"נסיגה אינסופית": מראים שאם הטענה נכונה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , היא נכונה גם עבור ערך קטן יותר, עד שבסופו של דבר מסיקים שהיא נכונה גם עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=1} . אוילר הראה באופן כזה שאם $p$ ראשוני המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\equiv1\pmod4} , אז אפשר להציג את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} כסכום של שני ריבועים (בסיס האינדוקציה במקרה זה הוא העובדה שאפשר להציג את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mp} כסכום כזה, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} גדול מספיק, משום ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} הוא שארית ריבועית מודולו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} ).
אינדוקציה הפוכה. מראים שהטענה נכונה עבור סדרה עולה של מספרים (כגון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^n} ), ואז מראים שמן הנכונות עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} נובעת הנכונות עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m-1} . על שיטה זו מבוססת אחת ההוכחות הקלות לאי-השוויון בין הממוצע הגאומטרי והממוצע החשבוני.

דוגמאות

דוגמה 1

נוכיח באינדוקציה את הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}} (הנוסחה לסכום המספרים הטבעיים עד n):

ראשית, ברור כי הטענה נכונה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=1} , משום שבמקרה זה הערך בשני האגפים הוא 1.

שנית, נניח שהטענה נכונה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=k} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}} .

עלינו להוכיח את השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+\cdots+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}} .

אולם לפי הנחת האינדוקציה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}1+\cdots+(k+1)=(1+\cdots+k)+(k+1)&=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)\\&=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}\\&=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\end{align}}

דוגמה 2

מגדלי האנוי היא חידה פופולרית שבה יש להעביר מגדל של דיסקיות מעמוד אחד לעמוד אחר, תוך שימוש בעמוד עזר ועל פי החוקים הבאים:

בכל תור מותר להזיז דיסקית אחת בלבד, מראש עמוד אחד לראש עמוד אחר.
אסור להניח דיסקית גדולה על גבי דיסקית קטנה ממנה.

ניתן להוכיח באינדוקציה שניתן לפתור את החידה, לא משנה כמה דיסקיות יש במגדל. ניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל דיסקית אחת בלבד, בעזרת מהלך אחד. עתה נניח שניתן להעביר מגדל בעל n דיסקיות ונראה שניתן להעביר מגדל בעל n+1 דיסקיות. ההעברה מתבצעת בשלושה שלבים. ראשית נעביר את n הדיסקיות העליונות אל עמוד העזר - דבר שניתן לעשות על פי הנחת האינדוקציה, שנית נעביר את הדיסקית התחתונה - ולבסוף נעביר שוב את n הדיסקיות שעל עמוד העזר אל מעל לדיסקית התחתונה.

דוגמה 3

מספר רמזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n,m}} (עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n,m\geq 2} ) הוא המספר הקטן ביותר בעל התכונה הבאה: בכל אירוע שבו נפגשים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n,m}} אנשים, מוכרחים להיות n אנשים שכולם מכירים זה את זה, או m אנשים שאף אחד מהם אינו מכיר את רעהו. (יחס ההיכרות הוא יחס סימטרי: אם a מכיר את b, אז גם b מכיר את a). מלכתחילה לא ברור שהמספרים האלו קיימים (משום שייתכן, לכאורה, שאפשר להימנע מן הקבוצות המיוחדות גם באירועים המוניים).

נוכיח שמספרי רמזי קיימים, בכך שנראה ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n,m} \leq \binom{n+m-2}{n-1}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \binom{n+m-2}{n-1}=\frac{(n+m-2)!}{(n-1)!\ (m-1)!}} הוא מקדם בינומי.

ראשית, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n,2} = n} משום שאם אין אפילו זוג אנשים שאינם מכירים זה את זה, מוכרחים כולם להכיר את כולם. מאותה סיבה גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{2,m}=m} , ולכן הטענה נכונה כאשר n=2 או m=2. זהו בסיס האינדוקציה. כעת נניח ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n,m\geq 3} . נניח שבאירוע משתתפים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n-1,m}+R_{n,m-1}} אנשים. נתבונן במערך ההיכרויות של אחד ממשתתפי האירוע: או שהוא מכיר לפחות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n-1,m}} משתתפים, או שהוא אינו מכיר לפחות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n,m-1}} משתתפים. במקרה הראשון, לפי ההגדרה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n-1,m}} , יש בין האנשים שהוא מכיר n-1 מכרים-הדדית (ואז יש באירוע כולו קבוצה של n מכרים-הדדית), או שיש ביניהם קבוצה של m זרים-הדדית; במקרה השני, יש בין האנשים שהוא אינו מכיר קבוצה של n מכרים-הדדית, או שיש ביניהם קבוצה של m-1 זרים-הדדית (ואז יש m זרים-הדדית באירוע). הוכחנו שמספר המשתתפים גדול דיו כדי לחייב אחת משתי התוצאות שבהגדרה, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n,m} \leq R_{n-1,m}+R_{n,m-1}} .

לפי הנחת האינדוקציה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{n,m} \leq \binom{n+m-3}{n-2}+\binom{n+m-3}{m-2} = \binom{n+m-2}{n-1}} . (הערך המדויק של מספרי רמזי ידוע רק במקרים בודדים; אפילו הערך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{5,5}} אינו ידוע).

דוגמה 4

עץ בינארי הוא עץ מכוון, שבו לכל קודקוד יש לכל היותר שני בנים, ולכל קודקוד, פרט לקודקוד מיוחס הנקרא שורש, יש אב יחיד. קודקוד של עץ כזה נקרא גם צומת. עלה הוא צומת חסר בנים. עץ לא ריק הוא עץ שקיים בו שורש. צאצאים של כל צומת בעץ יוצרים ביחד איתו תת-עץ של העץ המקורי. נגדיר "צומת מלא" כצומת שיש לו שני בנים.

נוכיח באינדוקציה שבעץ בינארי לא ריק, שמספר העלים בעץ גדול ב-1 ממספר הצמתים המלאים בו.

עבור עץ עם צומת בודד הטענה מתקיימת: ישנו עלה אחד ואין צמתים מלאים. נניח שהטענה נכונה עבור כל עץ בינארי עם n צמתים, כאשר n חיובי. נוכיח שהטענה נכונה עבור עץ עם 1+n קודקודים: בהינתן עץ שאינו שורש עם n+1 צמתים, נסיר ממנו עלה כלשהו ונקבל עץ חדש עם n צמתים. נסמן את מספר העלים ב-N0 ואת מספר הצמתים המלאים ב-N2. על-פי הנחת על בעץ החדש מתקיים השוויון N0=N2+1.

נחזיר חזרה לעץ את העלה שהסרנו.

אם העלה שהוסר היה בן יחיד מספר העלים לאחר החזרתו לא השתנה: מצד אחד עלה אחד נוסף ומצד שני אותו הצומת שהוסיפו לו עלה הפך מעלה לאב יחיד. מספר הצמתים המלאים לא השתנה אף הוא ולכן השוויון נשמר.

אם העלה שהוסר לא היה בן יחיד אז מצד אחד מספר הצמתים המלאים בעץ לאחר החזרת העלה גדל ב-1, ומצד שני מספר העלים גדל ב-1 לאחר החזרת העלה. ולכן גם במקרה זה השוויון נשמר.

דוגמה 5

ישנן גם הוכחות שגויות, המבוססות על גרסה שגויה של אקסיומת האינדוקציה או שיש בהן דילוג על שלב מהותי. למרות שברוב ההוכחות באינדוקציה הבדיקה לערך קטן של n היא קלה ומיידית, ישנם מקרים שבהם צעד האינדוקציה תקין והבעיה היא דווקא בערכים הקטנים. דוגמה מפורסמת לתופעה זו היא פרדוקס הסוסים, המתיימר להוכיח שכל הסוסים בעולם הם בעלי אותו צבע. מכיוון שמספר הסוסים בעולם סופי, אפשר להוכיח את הטענה באינדוקציה: בכל קבוצה בת n סוסים, לכולם יש אותו צבע. טענה זו נכונה כמובן ל-n=1. כעת נניח שהטענה נכונה ל-n, ונוכיח אותה ל-n+1: נבודד אחד מבין n+1 הסוסים, כך שישארו n סוסים, שכולם בעלי אותו צבע לפי הנחת האינדוקציה. נחליף את הסוס שהוצאנו קודם לכן בסוס אחר, ושוב נקבל שלכל הסוסים בקבוצה שלפנינו אותו צבע. לכן לכל n+1 הסוסים יש אותו צבע.

הטענה נכונה עבור n=1, אבל המעבר מ-n ל-n+1 תקין רק בתנאי ש-n>1, משום שכדי להסיק שלכל n+1 הסוסים אותו צבע, אנו מניחים שבשתי הקבוצות בגודל n יש סוסים משותפים, שאליהם אפשר להשוות את שני הסוסים שהוצאנו בתחילת הצעד ובסופו. אם הטענה הייתה נכונה עבור n=2 (לכל שני סוסים יש אותו צבע), באמת אפשר היה להוכיח אותה לכל n. אבל המעבר מ-n=1 ל-n=2 (אם לכל סוס יש הצבע שלו, אז לכל שני סוסים יש צבע משותף) שגוי, ולכן ההוכחה אינה תקפה.

תקפותה של הוכחה באינדוקציה

לכאורה, מבוססת האינדוקציה המתמטית על הפעלה חוזרת של כלל הגזירה מודוס פוננס. לדוגמה, כדי להוכיח את הטענה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(4)} , די להוכיח את טענת הבסיס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(1)} , ואת הגרירות $\ P(1)\implies P(2)$ , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(2)\implies P(3)} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(3)\implies P(4)} : מן הגרירה הראשונה נובע (לפי טענת הבסיס) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(2)} , מן הגרירה השנייה נובע כעת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(3)} , ומן השלישית - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(4)} . מכיוון שבצעד האינדוקציה הוכחנו את כל הגרירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(n) \implies P(n+1)} , אפשר להוכיח באופן הזה את כל הטענות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(n)} .

אם לדייק, מצאנו, לכל n, סדרה סופית של טיעונים, המוכיחה ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(n)} ; אבל מספר הצעדים בכל הוכחה הולך וגדל. זהו מעין "אפקט דומינו": כל אבן מפילה את האבן שאחריה, וכל אבן תיפול בזמן סופי, אבל אם השרשרת אינסופית, הזמן עד שיפלו כולן הוא אינסופי. עקרון האינדוקציה הופך את הסדר: הוא נותן הוכחה בסדרה סופית של טיעונים, לכל אינסוף הטענות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(n)} .

יש שתי גישות להצדקת עקרון האינדוקציה. במערכת האקסיומות המגדירה את מערכת פאנו של המספרים הטבעיים, ישנה סכימת אקסיומות מיוחדת, הקובעת את חלות האינדוקציה. במסגרת הרחבה יותר של תורת הקבוצות האקסיומטית, המבוססת על אקסיומות צרמלו-פרנקל, נובע עקרון האינדוקציה מכך שקבוצת המספרים הטבעיים סדורה היטב (ראו עקרון הסדר הטוב): אם הטענה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(n)} אינה מתקיימת לכל n, מוכרח להיות מספר קטן ביותר שעבורו היא אינה מתקיימת; מספר זה אינו יכול להיות 1, משום שבסיס האינדוקציה מאשר את הטענה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(1)} , והוא אינו יכול להיות גדול מ-1, משום שבמקרה כזה הטענה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(n)} נובעת מן הטענה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P(n-1)} , הנכונה לפי המינימליות של n.

בתורה, העובדה שקבוצת המספרים הטבעיים סדורה היטב נובעת מאקסיומת האינסוף (הקובעת שקיימת קבוצה רקורסיבית אינסופית), ומאקסיומת היסוד.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: אינדוקציה מתמטית

גדי אלכסנדרוביץ', גם אני לא מאמין באינדוקציה (כי לאמונה אין קשר לזה), באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי

הערות שוליים

^ ^1.0 ^1.1 Florian Cajori, Origin of the name Mathematical Induction, American Mathematical Monthly 25 (1918), pp. 197--201, in JSTOR.
^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed., p. 364
^ W.H. Bussey, "The Origin of Mathematical Induction", American Mathematical Monthly 24 (1917), pp. 199--207.
^ Nachum L. Rabinovitch, "Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, Archive for the History of Exact Sciences, Vol. 6(3), (1970)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

[Cajori-1] 1.0 ^1.1 Florian Cajori, Origin of the name Mathematical Induction, American Mathematical Monthly 25 (1918), pp. 197--201, in JSTOR.

[2] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed., p. 364

[3] W.H. Bussey, "The Origin of Mathematical Induction", American Mathematical Monthly 24 (1917), pp. 199--207.

[4] Nachum L. Rabinovitch, "Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, Archive for the History of Exact Sciences, Vol. 6(3), (1970)

[1]

[2]

[3]

[4]

אינדוקציה מתמטית

תוכן עניינים

היסטוריה