משפט הקוסינוסים

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

משפט הקוסינוסים הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו. המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.

עבור משולש שצלעותיו הן $a, b, c$

והזווית שמול c היא $γ$ ,

משפט הקוסינוס קובע:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$

משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו $γ = 9 0^{\circ}$ ולכן: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos 9 0^{\circ} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot 0 = a^{2} + b^{2}$ .

היסטוריה

משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו). המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית. בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: $B C^{2} + A C^{2} = A B^{2} + 2 \cdot A R E A_{D H I C}$ .

מכיוון ש $A R E A_{D H I C} = B C \cdot A C \cdot \cos (A C B)$ מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים.

בתחילת המאה העשירית האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית. הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.

המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.

הוכחות

הוכחה טריגונומטרית

נעביר גובה לצלע c (ראו ציור משמאל). $c = a \cos (β) + b \cos (α) .$ .
(השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: $c^{2} = a c \cos (β) + b c \cos (α) .$ .
באותו אופן מקבלים: $a^{2} = a c \cos (β) + a b \cos (γ)$ , $b^{2} = b c \cos (α) + a b \cos (γ)$ .
מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: $a^{2} + b^{2} = a c \cos (β) + b c \cos (α) + 2 a b \cos (γ)$ .
לאחר העברת אגפים נקבל: $a c \cos (β) + b c \cos (α) = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)$ .
לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c² ומתקבל משפט הקוסינוסים: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ) .$ .

הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.

שימוש במשפט פיתגורס

ניקח משולש בעל צלעות $a$ , $b$ ו- $c$ , ובעל זוויות $β$ , $α$ ו- $γ$ ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית $β$ לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:

c^{2} = (a \sin γ)^{2} + (b - a \cos γ)^{2}

= a^{2} \sin^{2} γ + b^{2} - 2 a b \cos γ + a^{2} \cos^{2} γ

= a^{2} (\sin^{2} γ + \cos^{2} γ) + b^{2} - 2 a b \cos γ

= a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

היות ש:

\sin^{2} γ + \cos^{2} γ = 1

.

שימוש במשפט תלמי

את המשולש ABC שצלעותיו BC = a AC = b AB = c,נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל. נבנה משולש ABD החופף למשולש המקורי: AD=BC ו BD=AC. מהקודקודים C,D נעביר גבהים החותכים את הצלע AB בנקודות F,E בהתאמה.

\begin{aligned} B F = A E = B C \cos (∠ C B A) = a \cos (∠ C B A) \\ \Rightarrow & D C = E F = A B - 2 B F = c - 2 a \cos (∠ C B A) . \end{aligned}

כעת, ממשפט תלמי נקבל:

\begin{aligned} A D \times B C + A B \times D C = A C \times B D \\ \Rightarrow & a^{2} + c (c - 2 a \cos (∠ C B A)) = b^{2} \\ \Rightarrow & a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (∠ C B A) = b^{2} . \end{aligned}

שימוש באנליזה וקטורית

את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים. וקטור הוא גודל ליניארי מופשט הקיים במרחב וקטורי. על וקטורים במישור $ℝ^{2}$ ניתן לחשוב כעל חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש.

קל לראות מהאיור ש- $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ .

נשתמש במכפלה סקלרית ונקבל:

c^{2} = \vec{c} \cdot \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

שכן הזווית $γ$ שמול הצלע c במשולש שווה לזווית בין הווקטורים $\vec{a}$ ו- $\vec{b}$ (שכן הן זוויות בין ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור $\vec{b}$ ).

האנלוג המרחבי של משפט הקוסינוסים

עבור סימפלקסים רב-ממדיים (מממד גבוה מ-2) קיימות נוסחאות טריגונומטריות בעלות צורה דומה לזו של משפט הקוסינוסים. במקרה התלת-ממדי, הסימפלקס המתקבל הוא הטטראדר, והנוסחה האנלוגית למשפט הקוסינוסים קושרת בין השטחים של שלוש פאות והזוויות הדיהדרליות ביניהן לשטח הפאה הרביעית. אם נסמן את השטחים של ארבע הפאות של הטטראדר ב-α,β,γ,δ ואת הזווית הדיהדרלית בין שתי פאות בסימון (למשל) $\hat{β γ}$ , אז:

α^{2} = β^{2} + γ^{2} + δ^{2} - 2 (β γ \cos (\hat{β γ}) + γ δ \cos (\hat{γ δ}) + δ β \cos (\hat{δ β})) .

הוכחה

השלב המרכזי בהוכחה הוא להראות שאם נשרטט וקטור ניצב לכל פאה אשר אורכו שווה לשטח שלה, אז סכום ארבעת הווקטורים שיתקבלו יהיה אפס. אם נציב את הראשית באחד מקודקודי הארבעון ונניח שכיוון כל אחד משלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות שנפגשות באותו קודקוד הוא אל הראשית (ולא החוצה), אז אם נסמן את שלושת הווקטורים הללו ב- $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ , נקבל ששלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות הנותרות הם: $\vec{a} = \vec{d} - \vec{e}, \vec{b} = \vec{e} - \vec{f}, \vec{c} = \vec{f} - \vec{d}$ . כל אחד מווקטורי הנורמל לפאות שווה למחצית המכפלה הווקטורית שמתאימה לו:

$n_{α} = \frac{1}{2} \vec{d} \times (- \vec{e}), n_{β} = \frac{1}{2} \vec{f} \times (- \vec{d}), n_{γ} = \frac{1}{2} \vec{e} \times (- \vec{f})$

בעוד המכפלה הווקטורית המתאימה לפאה האחרונה היא:

n_{δ} = \frac{1}{2} \vec{b} \times (- \vec{c}) = \frac{1}{2} (\vec{e} - \vec{f}) \times (\vec{f} - \vec{d})

אם נחבר את ארבעת וקטורי הנורמל תוך שימוש בדיסטריביוטיביות המכפלה הווקטורית, נקבל:

n_{α} + n_{β} + n_{γ} + n_{δ} = \frac{1}{2} (d \times (- e) + f \times (- d) + e \times (- f) + e \times f - e \times d - f \times f + f \times d) = 0

חוק הקוסינוסים בעבור טטראדר מתקבל מעובדה זו בצורה מיידית באמצעות שוויון הנורמה בריבוע של $n_{α}$ עם המכפלה הסקלרית $⟨ n_{β} + n_{γ} + n_{δ}, n_{β} + n_{γ} + n_{δ} ⟩$ , ממנו מקבלים:

α^{2} = β^{2} + γ^{2} + δ^{2} + 2 (⟨ n_{β}, n_{γ} ⟩ + ⟨ n_{γ}, n_{δ} ⟩ + ⟨ n_{β}, n_{δ} ⟩)

אבל, מהגדרת הזווית הדיהדרלית נובע: $⟨ n_{β}, n_{γ} ⟩ = β γ c o s (π - \hat{β γ})$ , מה שמשלים את ההוכחה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

גדי אלכסנדרוביץ', מה בעצם הולך בטריגונומטריה בתיכון? (חלק ה' - משפט הקוסינוסים), באתר "לא מדויק", 27 ביוני 2021
משפט הקוסינוסים, באתר MathWorld (באנגלית)
משפט הקוסינוסים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הקוסינוסים41541908Q164321

טריגונומטריה
משפטים בטריגונומטריה	זהויות טריגונומטריות • משפט הסינוסים • משפט הקוסינוסים • משפט הטנגנסים • משפט לז'נדר על משולשים כדוריים • הגבול של sin(x)/x
פונקציות טריגונומטריות	טנגנס • סינוס • קוסינוס • פונקציות טריגונומטריות הפוכות

משפט הקוסינוסים

תוכן עניינים

היסטוריה