משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו. המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.

עבור משולש שצלעותיו הן $a, b, c$ והזווית שמול $c$ היא $γ$ , משפט הקוסינוסים קובע:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו $γ = 9 0^{\circ}$ ולכן $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

היסטוריה

משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה ה-3 לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו). המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית.

בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: $B C^{2} + A C^{2} = A B^{2} + 2 S_{D H I C}$ .

מכיוון ש- $S_{D H I C} = B C \cdot A C \cdot \cos (A C B)$ מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים.

בתחילת המאה ה-10 האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית. הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.

המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.

הוכחות

הוכחה טריגונומטרית

נעביר גובה לצלע $c$ (ראו ציור משמאל) $c = a \cos (β) + b \cos (α)$
(השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את $c$ מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
נכפיל את השוויון הקודם ב- $c$ ונקבל $c^{2} = a c \cos (β) + b c \cos (α)$ .
באותו אופן מקבלים $a^{2} = a c \cos (β) + a b \cos (γ), b^{2} = b c \cos (α) + a b \cos (γ)$ .
מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל $a^{2} + b^{2} = a c \cos (β) + b c \cos (α) + 2 a b \cos (γ)$ .
לאחר העברת אגפים נקבלל $a c \cos (β) + b c \cos (α) = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)$ .
לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל- $c^{2}$ ומתקבל משפט הקוסינוסים: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)$ .

הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.

שימוש במשפט פיתגורס

ניקח משולש בעל צלעות $a, b, c$ ובעל זוויות $α, β, γ$ ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית $β$ לצלע $b$ . את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:

\begin{aligned} c^{2} & = (a \sin (γ))^{2} + (b - a \cos (γ))^{2} \\ = a^{2} \sin (γ)^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ) + a^{2} \cos (γ)^{2} \\ = a^{2} (\sin (γ)^{2} + \cos (γ)^{2}) + b^{2} - 2 a b \cos (γ) \\ = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ) \end{aligned}

היות ש: $\sin (γ)^{2} + \cos (γ)^{2} = 1$ .

שימוש במשפט תלמי

את $△ A B C$ שצלעותיו $B C = a, A C = b, A B = c$ , נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל.

נבנה $△ A B D$ החופף למשולש המקורי: $A D = B C, B D = A C$ . מהקודקודים $C, D$ נעביר גבהים החותכים את הצלע $A B$ בנקודות $E, F$ בהתאמה.

\begin{aligned} B F = A E = B C \cos (∢ C B A) = a \cos (∢ C B A) \\ D C = E F = A B - 2 B F = c - 2 a \cos (∢ C B A) \end{aligned}

כעת, ממשפט תלמי נקבל:

\begin{aligned} A D \cdot B C + A B \cdot D C = A C \cdot B D \\ a^{2} + c (c - 2 a \cos (∢ C B A)) = b^{2} \\ a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (∢ C B A) = b^{2} \end{aligned}

שימוש באנליזה וקטורית

את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים. וקטור הוא גודל לינארי מופשט הקיים במרחב וקטורי. על וקטורים במישור $ℝ^{2}$ ניתן לחשוב כעל חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש.

קל לראות מהאיור כי $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ .

נשתמש במכפלה סקלרית ונקבל:

c^{2} = \vec{c} \cdot \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

שכן הזווית $γ$ שמול הצלע $c$ במשולש שווה לזווית בין הווקטורים $\vec{a}, \vec{b}$ (שכן הן זוויות בין ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור $\vec{b}$ ).

ראו גם

קישורים חיצוניים

משפט הקוסינוסים, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט_הקוסינוסים20318905Q164321

משפט הקוסינוסים

תוכן עניינים

היסטוריה