מרחק אוקלידי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

שימוש במשפט פיתגורס לחישוב מרחק אוקלידי דו-ממדי

במתמטיקה, המרחק האוקלידי בין שתי נקודות במרחב האוקלידי הוא אורך קטע הקו ביניהן. ניתן לחשב אותו מהקואורדינטות הקרטזיות של הנקודות באמצעות משפט פיתגורס, ולכן הוא נקרא לעיתים מרחק פיתגורס.

שמות אלה מגיעים מהמתמטיקאים היוונים הקדמונים אוקלידס ופיתגורס. בגאומטריה הדדוקטיבית היוונית, כפי שמודגם בספר "יסודות" של אוקלידס, מרחקים לא יוצגו כמספרים אלא כקטעי קו באותו אורך, אשר נחשבו "שווים". מושג המרחק מקורו בכלי המחוגה המשמש לציור מעגל, שכל נקודותיו נמצאות במרחק שווה מנקודת מרכז משותפת. הקשר בין משפט פיתגורס לחישוב מרחק לא נוצר עד המאה ה-18.

המרחק בין שני עצמים שאינם נקודות מוגדר בדרך כלל כמרחק הקטן ביותר בין זוגות נקודות משני העצמים. ידועות נוסחאות לחישוב מרחקים בין סוגים שונים של עצמים, כגון המרחק מנקודה לקו. בטופולוגיה, מושג המרחק הוכלל למרחבים מטריים מופשטים, ונחקרו הגדרות שונות למרחק. באלגוריתמים מסוימים בסטטיסטיקה ובאופטימיזציה, משתמשים בריבוע המרחק האוקלידי במקום במרחק עצמו.

נוסחאות מרחק

במימד אחד

המרחק בין שתי נקודות כלשהן על הישר הממשי הוא הערך המוחלט של ההפרש המספרי של הקואורדינטות שלהן, שנקרא ההפרש המוחלט שלהן. לכן אם $p$ ו $q$ הן שתי נקודות על הישר הממשי, אז המרחק ביניהן ניתן על ידי:

$$d(p,q)=|p-q|.$$

נוסחה מורכבת יותר, הנותנת את אותו הערך, אך ניתנת להכללה ביתר קלות לממדים גבוהים יותר, היא:

$$d(p,q)=\sqrt{(p-q{)}^2}.$$

בנוסחה זו, העלאה בריבוע ולאחר מכן חישוב השורש הריבועי משאירה כל מספר חיובי ללא שינוי, אך מחליפה כל מספר שלילי בערכו המוחלט.

בשני ממדים

במישור האוקלידי, תהי הנקודה $p$ בעלי קואורדינטות קרטזיות $(p_1,p_2)$ ותהי נקודה $q$ בעלת קואורדינטות $(q_1,q_2)$. אז המרחק בין $p$ ו $q$ ניתן על ידי:

$$d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2}.$$

ניתן לראות זאת על ידי יישום משפט פיתגורס על משולש ישר-זווית עם צלעות אופקיות ואנכיות, כאשר קטע הישר מ $p$ אֶל $q$ כיתר שלו. שני הגורמים שמועלים בריבוע הם שטחי הריבועים של שתי הצלעות ולכן סכומם הוא שטח הריבוע של היתר. מבחינת פעולת החיבור הפיתגורית $\oplus$, הזמין בספריות תוכנה רבות כ- hypot, ניתן לבטא את אותה נוסחה כך:

$$d(p,q)=(p_1-q_1)\oplus (p_2-q_2)=\mathsf{h}\mathsf{y}\mathsf{p}\mathsf{o}\mathsf{t}(p_1-q_1,p_2-q_2).$$

ניתן גם לחשב את המרחק עבור נקודות הנתונות על ידי קואורדינטות פולריות. אם הקואורדינטות הקוטביות של $p$ הם $(r,\theta )$ והקואורדינטות הקוטביות של $q$ הם $(s,\psi )$, אז המרחק ביניהם ניתן על ידי משפט הקוסינוסים:

$$d(p,q)=\sqrt{r^2+s^2-2rs\cos (\theta -\psi )}.$$

כַּאֲשֵׁר $p$ ו$q$ מבוטאים כמספרים מרוכבים במישור המרוכב. ניתן להשתמש באותה נוסחה עבור נקודות חד-ממדיות המבוטאות כמספרים ממשיים, אם כי כאן סימן הערך המוחלט מציין את הנורמה המרוכבת:

$$d(p,q)=|p-q|.$$

בממדים גבוהים יותר

הסקת הנוסחה האוקלידית ה-n ממדית על ידי שימוש חוזר במשפט פיתגורס.

בשלושה ממדים, עבור נקודות הנתונות על ידי הקואורדינטות הקרטזיות שלהן, המרחק הוא

$$d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+(p_3-q_3{)}^2}.$$

באופן כללי, עבור נקודות הנתונות על ידי קואורדינטות קרטזיות במרחב האוקלידי ה-n ממדי

$$d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+\cdots +(p_n-q_n{)}^2}.$$

ניתן לבטא את המרחק האוקלידי בצורה קומפקטית יותר במונחים של הנורמה האוקלידית של ווקטור ההפרש:

$$d(p,q)=\Vert p-q\Vert .$$

תכונות

המרחק האוקלידי הוא דוגמה טיפוסית למטריקה, והוא מקיים את כל התכונות המגדירות שלה:

• הוא מקיים את תכונת הסימטריות $p$ ו-$q$, $d(p,q)=d(q,p)$. כלומר (בניגוד למרחק בכביש עם רחובות חד-סטריים) המרחק בין שתי נקודות אינו תלוי באיזו משתי נקודות היא נקודת ההתחלה ואיזו היא היעד.
• הוא מקיים את תכונת החיוביות, כלומר המרחק בין כל שתי נקודות נפרדות הוא מספר חיובי, בעוד שהמרחק מכל נקודה לעצמה הוא אפס.
• הוא מקיים את אי-שוויון המשולש : עבור כל שלוש נקודות $p$, $q$, ו-$r$, $d(p,q)+d(q,r)\ge d(p,r)$. באופן אינטואיטיבי, נסיעה מ-$p$ ל $r$ בְּאֶמצָעוּת $q$ לא יכולה להיות קצרה יותר מנסיעה ישירה מ-$p$ אֶל $r$

תכונה נוספת המתקיימת באופן ספציפי במרחק האוקלידי היא אי השוויון של תלמי , הנוגעת למרחקים האוקלידיים בין ארבע נקודות. $p$, $q$, $r$, ו-$s$. אי שוויון זה קובע:

$$d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\ge d(p,r)\cdot d(q,s).$$

עבור נקודות במישור, ניתן לנסח את אי השוויון כך: סכום המכפלות של הצלעות הנגדיות של מרובע גדול ממכפלת האלכסונים שלו. על פי משפט בקמן-קווארלס , כל טרנספורמציה של מרחב אוקלידי השומרת על מרחקי יחידה חייבת להיות איזומטריה, המשמרת את כל המרחקים.

לקריאה נוספת

• פרופ' דניאלה ליבוביץ, ‏טופולוגיה קבוצתית, האוניברסיטה הפתוחה, 1997 (הספר במיזם פא"ר)

קישורים חיצוניים

• מרחק אוקלידי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרחק אוקלידי41371268Q847073