מטריצת סיבוב

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

סימון

מטריצות סיבוב מכונה DCM (Direct Cosine Matrix) ונהוג לסמן באותיות: M (קיצור של Matrix), R (קיצור של Rotation) ו-C (קיצור של Cosine).

נהוג לצרף סימן תחתון וסימן עליון המתאר את מערכות הצירים ביניהן מתבצע הסיבוב.

לדוגמה סיבוב ממערכת צירים a למערכת צירי b: Cab

נדגים את השימוש במטריצה זו, נגדיר וקטור va במערכת a, כדי למצוא את הווקטור במערכת צירים b, נכפול ב Cab:

vb=Cabva

לדוגמה סיבוב ממערכת צירים a למערכת צירי c דרך מערכת צירי b:

Cac=CbcCab

נדגים את השימוש במטריצה זו, נגדיר וקטור va במערכת a, כדי למצוא את הווקטור במערכת צירים c, נכפול ב Cac:

vc=Cacva

דרך נוספת לפירוש פעולת מטריצת סיבוב על וקטור (מעבר להעברת הווקטור בין מערכות צירים) היא סיבוב הווקטור באותה מערכת הצירים. מטריצת הסיבוב מגדירה את "וקטור הסיבוב" סביבו מסובב הווקטור, ואת גודל זווית הסיבוב של הווקטור סביב "וקטור הסיבוב". נסמן מטריצת סיבוב לפי פירוש זה על ידי Ca, כלומר מטריצה שמשנה כיוון של וקטור במערכת צירים a. והשימוש הוא: v2a=Cav1a כלומר, וקטור v1 במערכת צירים a, מסובב עי Ca כך שמתקבל וקטור v2 במערכת צירים a.

תכונות

תהי M מטריצת סיבוב מסדר  n×n. מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

𝐀𝐁=M𝐀M𝐁
MM1=MM=I כאשר I היא מטריצת היחידה.
=exp(𝐀)=n=0𝐀nn!
כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת 𝐀n נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו-ממד

סיבוב נגד כיוון השעון של וקטור בזווית θ. כאשר הווקטור היה מיושר בהתחלה עם ציר ה-x.

בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית θ, כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית θ היא:

R(θ)=[cosθsinθsinθcosθ]

כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:

R(θ)=[cosθsinθsinθcosθ]

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה 2×2 אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

מטריצות סיבוב נפוצות:
R(90)=[0110]R(180)=[1001]R(270)=[0110]

תלת-ממד

  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - x בזווית ϕ היא:
x(ϕ)=[1000cosϕsinϕ0sinϕcosϕ]=exp([00000ϕ0ϕ0])
  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - y בזווית θ היא:
y(θ)=[cosθ0sinθ010sinθ0cosθ]=exp([00θ000θ00])
  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - z בזווית ψ היא:
z(ψ)=[cosψsinψ0sinψcosψ0001]=exp([0ψ0ψ00000])

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

  • מטריצת סיבוב תלת־ממדית סביב שלושת הצירים בסדר z-y-x[1]:

𝐑=Rz(ψ)Ry(θ)Rx(ϕ)=[cosθcosψcosϕsinψ+sinϕsinθcosψsinϕsinψ+cosϕsinθcosψcosθsinψcosϕcosψ+sinϕsinθsinψsinϕcosψ+cosϕsinθsinψsinθsinϕcosθcosϕcosθ]עבור סדר הסיבוב הנ"ל, נשים לב שאחרי הסיבוב של מערכת הצירים סביב ציר x, הכיוון של ציר y השתנה, נהוג לסמן אותו כ y' , כך שהסיבוב השני הוא סביב ציר y' ולא y. באותו אופן נהוג לסמן שהסיבוב השלישי הוא סביב z'' . מכאן ניתן להבין שסדר סיבוב שונה עם אותן זוויות, יכול לתת תוצאה שונה.

  • ערכים עצמיים ועקבה

המטריצה מסובבת בזווית θ כלשהי סביב וקטור עצמי כלשהו המתאים לערך העצמי 1. ושני הערכים העצמיים האחרים הם  eiθ,eiθ

ומאחר והעקבה היא סכום הערכים העצמיים, מתקבל שהעקבה היא tr(R)=1+2cosθ

זוויות אוילר

באמצעות שימוש בפונקציות טריגונומטריות הפוכות ניתן לחלץ ממטריצת הסיבוב את זוויות אוילר המיצגות את אותו סיבוב. למשל אם סדר הסיבוב יוגדר z-y-x, המטריצה R תוגדר כפי המצוין לעיל ואז זוויות אויילר יהיו:

  • ϕ=atan2(R(2,1),R(1,1))
  • θ=arcsin(R(3,1))
  • ψ=atan2(R(3,2),R(3,3))

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. סיבוב ראשון סביב ציר x, לאחר מכן סיבוב סביב ציר y ולבסוף סיבוב סביב ציר z
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצת סיבוב40805955Q1256564