יחס טרנזיטיבי

במתמטיקה ולוגיקה, יחס טרנזיטיבי הוא יחס המקיים את "כלל המעבר":

אם $a$ מתייחס ל-$b$ ו-$b$ מתייחס ל-$c$ , אז גם $a$ מתייחס ל-$c$ .

תכונה חשובה זו מתקיימת בכל יחס שקילות ובכל יחס סדר. מאידך, כל יחס טרנזיטיבי אפשר לתאר באמצעות יחס שקילות ויחס סדר על קבוצת המנה.

היחסים "עוקב", "צמוד ל", "ליד", "הבא בתור" או "בן-של" אינם טרנזיטיביים. היחס "בן-של" למשל אינו טרנזיטיבי, משום שמכך שאיתמר הוא בנו של אהרון ושאהרון בנו של עמרם, לא נובע שאיתמר הוא בנו של עמרם. לעומת זאת, היחס "$x$ צאצא של $y$" הוא טרנזיטיבי (זהו "הסגור הטרנזיטיבי" של היחס הקודם – ראו להלן). היחס "צאצא" טרנזיטיבי ואינו סימטרי.

באופן פורמלי יחס $R$ הוא טרנזיטיבי אם לכל $a,b,c$ המקיימים $aRb,bRc$ מתקיים גם $aRc$ .

מבנה

לכל יחס טרנזיטיבי ורפלקסיבי $R$ על קבוצה $X$ יש יחס שקילות $\equiv$ ויחס סדר חלש $\leq$ על מרחב המנה $X/\equiv$ , עבורו $xRy$ אם ורק אם $[x]\leq [y]$ . יחס השקילות הוא החיתוך $\equiv =R\cap R^{-1}$ .

תיאור דומה אפשר לתת לכל יחס טרנזיטיבי, בלי להניח רפלקסיביות: לכל יחס טרנזיטיבי $R$ על קבוצה $X$ יש יחס שקילות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \equiv} , יחס סדר חלש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \le} על מרחב המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X/\equiv} , ותת-קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_0\sube X} שכל אבריה סינגלטונים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \equiv} , עבורם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xRy} אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [x]\le[y]} וכן (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ne y} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y\notin X_0} ).

הסגור הטרנזיטיבי

כל יחס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} ניתן להשלים ליחס טרנזיטיבי, שהוא היחס הטרנזיטיבי המינימלי המכיל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} . ההשלמה הזו נקראת הסגור הטרנזיטיבי של היחס המקורי ומסומנת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{tr}} . את הסגור הטרנזיטיבי של היחס $R$ ניתן לקבל כחיתוך כל היחסים הטרנזיטיביים המכילים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} (כיוון שהיחס המלא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X\times X} הוא טרנזיטיבי – חיתוך זה אינו ריק) או לחלופין על ידי ההגדרה הבאה:

לכל שני אברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x, y} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xR^{tr}y} אם ורק אם קיימת שרשרת סופית של אברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x_0Rx_1R\ldots Rx_n=y} .

או באופן שקול:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{tr}=\bigcup_{n\in\N}R^n}

כלומר איחוד כל ההרכבות החוזרות של היחס על עצמו.

למשל, יחס העקיבה המוגדר על המספרים הטבעיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} עוקב ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y+1} , אינו טרנזיטיבי (1 הוא עוקב של 0, ו-2 עוקב של 1 אך 2 אינו עוקב של 0); הסגור הטרנזיטיבי שלו הוא היחס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle >} ("גדול מ-").

ראו גם

• יחס שקילות
• יחס רפלקסיבי
• סדר חלקי