התפלגות רב-נורמלית

התפלגות רב-נורמלית

פונקציית צפיפות ההסתברות
מאפיינים
פרמטרים	μ ∈ Rk פרמטר מרכז Σ ∈ Rk × k מטריצת שונות משותפת מטריצה חיובית
תומך	x ∈ Rk
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$ {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}e^{-({\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}))} $
תוחלת	$ {\boldsymbol {\mu }} $
ערך שכיח	$ {\boldsymbol {\mu }} $
שונות	$ \ \Sigma $
אנטרופיה	$ {\frac {k}{2}}\log {\mathord {\left(2\pi \mathrm {e} \right)}}+{\frac {1}{2}}\log |{\boldsymbol {\Sigma }}| $
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$ \exp \!{\Big (}{\boldsymbol {\mu }}^{\mathrm {T} }\mathbf {t} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )} $
פונקציה אופיינית	$ \exp \!{\Big (}i{\boldsymbol {\mu }}^{\mathrm {T} }\mathbf {t} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )} $

בתורת ההסתברות, התפלגות רב-נורמלית, או התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית (באנגלית: Multivariate normal distribution) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

הגדרה

יהי $ X=(X_{1},\dots ,X_{n}) $ וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש-$ X $ מתפלג רב-נורמלית (או גאוסיאנית) אם לכל $ a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} $ המשתנה המקרי (החד־ממדי) $ \langle {\bar {a}},{\bar {X}}\rangle =a_{1}X_{1}+\dots +a_{n}X_{n} $ מתפלג נורמלית, כלומר קיימים $ \mu ,\sigma $ (תלויים ב-$ a_{i} $) כך ש-$ \langle {\bar {a}},{\bar {X}}\rangle \sim N(\mu ,\sigma ^{2}) $.

אם $ X $ משתנה רב-נורמלי, מסמנים $ X\sim N({\bar {\mu }},\Sigma ) $. $ {\bar {\mu }} $ הוא וקטור התוחלות, כלומר

$ {\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],\operatorname {E} [X_{2}],\ldots ,\operatorname {E} [X_{k}])^{\mathrm {T} } $

ו-$ \Sigma $ היא מטריצת השונות משותפת

$ \Sigma _{i,j}=\operatorname {E} [(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})]=\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}] $

כאשר $ 1\leq i,j\leq k $.

תכונות

הפונקציה האופיינית

ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:

$ {\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {u} )=\exp {\Big (}i\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {u} {\Big )}.} $ כאשר מטריצה השונות $ \Sigma $ היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שאינו נכון באופן כללי).

לכסון

לכל משתנה מקרי רב-נורמלי $ X $ קיימים משתנה מקרי $ Y $ ומטריצה אורתוגונלית $ A $ כך ש-$ X={\bar {\mu }}+YA $, כאשר $ Y_{i}\sim N(0,\lambda _{i}) $ ו-$ \lambda _{i} $ הם הערכים עצמיים של $ \Sigma $ (מטריצת השונויות המשותפות).

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי $ X $ ולכל מטריצה אורתוגונלית $ A $, המשתנה המקרי $ AX $ גם הוא רב נורמלי: $ Y\sim N(A\mu ,\Sigma ) $.

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על $ \Sigma $ (בפרט, המטריצה $ A $ נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

פונקציית צפיפות

כאשר מטריצת השונות $ \Sigma $ איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים $ \lambda _{i} $ שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחא:

$ f_{X}({\bar {x}})={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}|\Sigma |}}}e^{-{\frac {1}{2}}({\bar {x}}-{\bar {\mu }})^{T}{\Sigma }^{-1}({\bar {x}}-{{\bar {\mu }})}} $

כאשר $ |\Sigma |=\det(\Sigma ) $ מסמן את הדטרמיננטה של $ \Sigma $.

התפלגויות שוליות

למציאת ההתפלגות השולית של משתנים מקריים המתפלגים רב-נורמלית, מספיק להשמיט את המשתנים הלא-רלוונטיים (המשתנים שיש לבצע עליהם אינטגרציה) מווקטור התוחלת $ {\boldsymbol {\mu }} $ וממטריצת השונות $ {\boldsymbol {\Sigma }} $. ההוכחה לכך נובעת מההגדרה של ההתפלגות הרב-נורמלית ומאלגברה ליניארית.

דוגמה

יהי $ \mathbf {X} =[X_{1},X_{2},X_{3}] $ ווקטור מקרי רב-נורמלי עם ווקטור תוחלת $ {\boldsymbol {\mu }}=[\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}] $ ומטריצת שונות $ {\boldsymbol {\Sigma }} $. ההתפלגות השולית של $ \mathbf {X} '=[X_{1},X_{3}] $ היא התפלגות רב-נורמלית עם וקטור תוחלת $ {\boldsymbol {\mu }}'=[\mu _{1},\mu _{3}] $ ומטריצת שונות $ {\boldsymbol {\Sigma }}'={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{13}\\{\boldsymbol {\Sigma }}_{31}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{33}\end{bmatrix}} $.

התפלגות רב-נורמלית סינגולרית

בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות $ \Sigma $ איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה אין פונקציית צפיפות (ביחס למידת לבג) - ערכיה של פונקציית הצפיפות ייקבעו על ידי פחות מ-$ n $ משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב $ \operatorname {rank} (\Sigma ) $-ממדי של $ \mathbb {R} ^{n} $) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

יישומים

אם $ X_{1},X_{2},\dots $ משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים $ N(0,1) $, נסמן $ {\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\dots +X_{n}}{n}} $ ו-$ S_{n}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{(X_{i}-{\bar {X}}_{n})^{2}} $. אז מתקיים:

$ {\bar {X}}_{n}/{\sqrt {\frac {S_{n}}{n}}}\sim t_{n-1} $, כלומר מתפלג סטודנט עם $ n-1 $ דרגות חופש.

קישורים חיצוניים

• התפלגות רב-נורמלית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות רב-נורמלית39995592Q1149000