אי-שוויון צ'בישב

ערך זה עוסק באי-שוויון בתורת ההסתברות. אם התכוונתם לאי-שוויון על סדרות סופיות, ראו אי-שוויון הסכומים של צ'בישב.

בתורת ההסתברות, אי-שוויון צ'בישב (גם: צ'בישוֹב) הוא אי-שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם. האי-שוויון קרוי על שמו של ממציאו, המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב.

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי $\ X$ קיימים, אז לכל $\ C>0$ מתקיים: $\operatorname {P} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq C)\leq {\operatorname {Var} (X) \over C^{2}}$ .

אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו באופן מדויק יותר מאי-שוויון מרקוב ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו, שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים למקרה הפרטי שבו לסדרת המשתנים המקריים יש שונות סופית. אי-שוויון צ'רנוף נותן גרסה חזקה יותר עבור משתני ברנולי.

בגרסה כללית יותר, אי-שוויון צ'בישב קובע כי $\operatorname {P} (|X|\geq C)\leq {\operatorname {E} (X^{2}) \over C^{2}}$ . אי-שוויון קאנטלי הוא גרסה חד צדדית של אי-שוויון צ'בישב.

הוכחת אי-שוויון צ'בישב

על פי ההגדרה: $\operatorname {E} (f^{2})=\int _{\Omega }f^{2}(\omega )\,dP(\omega )$ . אם נבצע אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן $|f(\omega )|\geq C$ נקבל גודל קטן יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

$\int _{\Omega }f^{2}(\omega )\,dP(\omega )\geq \int _{\{\omega :|f(\omega )|\geq C\}}f^{2}(\omega )\,dP(\omega )\geq \int _{\{\omega :|f(\omega )|\geq C\}}C^{2}\,dP(\omega )=C^{2}\operatorname {P} (|f|\geq C)$

ועל ידי חלוקה של שני האגפים ב $\,C^{2}$ מקבלים את אי-שוויון צ'בישב.

ניתן גם להוכיח את אי-שוויון צ'בישב ישירות מאי-שוויון מרקוב.