אי-שוויון קאנטלי

בתורת ההסתברות, אי-שוויון קאנטלי, קרוי על שם פרנסיסקו פאולו קאנטלי, מאפשר לחסום הסתברויות זנב של התפלגויות. אי השוויון הוא גרסה חד-צדדית לאי-שוויון צ'בישב.

אי-שוויון קאנטלי קובע כי למשתנה מקרי $X$ בעל תוחלת $\mu$ ושונות ${\sigma }^2$ מתקיים:

$P(X-\mu \ge \lambda )\{\begin{array}{ll}\le \frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+{\lambda }^2}& \text{if }\lambda >0,\\ \ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+{\lambda }^2}& \text{if }\lambda <0.\end{array}$

הוכחה

נוכיח עבור $\mu =0$, המקרה הכללי מוכח בצורה דומה.

לכל $\lambda$ מתקיים:

$\lambda =E(\lambda -X)\le E((\lambda -X)1_{X<\lambda })$

לכן, לכל $\lambda \ge 0$, מאי-שוויון קושי-שוורץ נובע ש

${\lambda }^2\le E((\lambda -X{)}^2)E(1_{X<\lambda }^2)=E((\lambda -X{)}^2)P(X<\lambda )=({\sigma }^2+{\lambda }^2)P(X<\lambda )$

ולכן,

$P(X<\lambda )\ge \frac{{\lambda }^2}{{\sigma }^2+{\lambda }^2}$

באופן דומה ניתן להוכיח את המקרה שבו $\lambda \le 0$.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון קאנטלי30647658Q3711841