אי-שוויון הסכומים של צ'בישב

במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$ ו- $b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$ הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר $\frac{1}{n}\sum _i{a}_i\cdot \frac{1}{n}\sum _i{b}_i\le \frac{1}{n}\sum _i{a}_i{b}_i$.

אי השוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.

הכללות

למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,

• הגרסה המשוקללת: אם $p_1+\cdots +p_n=1$ הם מספרים חיוביים ו-$a_i,b_i$ כמקודם, אז $\sum p_i{a}_i\cdot \sum p_i{b}_i\le \sum p_i{a}_i{b}_i$.
• גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז $E(f(X))E(g(X))\le E(f(X)g(X))$; כלומר, בין שתי פונקציות עולות של אותו משתנה מקרי יש מתאם חיובי.
• הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)dx\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)dx.$.

הוכחת אי-השוויון

מכיוון שהמספרים $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n$ סדורים באותו כיוון, לכל $i,j$ מתקיים $0\le (a_j-a_i)(b_j-b_i)$, כלומר $a_i{b}_j+a_j{b}_i\le a_i{b}_i+a_j{b}_j$. סיכום לכל i ולכל j נותן $2\sum _i{a}_i\sum _j{b}_j=\sum _{i,j}(a_i{b}_j+a_j{b}_i)\le \sum _{i,j}(a_i{b}_i+a_j{b}_j)=2n\sum _i{a}_i{b}_i$.

ראו גם

• אי-שוויון התמורות
• אי-שוויון קושי-שוורץ

לקריאה נוספת

• The Cauchy-Shwartz Master class, J. Michael Steele, עמ' 76-78.

אי-שוויון_הסכומים_של_צ'בישב14296870Q1428736