אי-שוויון צ'בישב

ערך זה עוסק באי-שוויון בתורת ההסתברות. אם התכוונתם לאי-שוויון על סדרות סופיות, ראו אי-שוויון הסכומים של צ'בישב.

בתורת ההסתברות, אי-שוויון צ'בישב (גם: צ'בישוֹב) הוא אי-שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם. האי-שוויון קרוי על שמו של ממציאו, המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב.

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי $X$ קיימים, אז לכל $C > 0$ מתקיים: $P (| X - E (X) | \geq C) \leq \frac{Var (X)}{C^{2}}$ .

אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו באופן מדויק יותר מאי-שוויון מרקוב ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו, שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים למקרה הפרטי שבו לסדרת המשתנים המקריים יש שונות סופית. אי-שוויון צ'רנוף נותן גרסה חזקה יותר עבור משתני ברנולי.

בגרסה כללית יותר, אי-שוויון צ'בישב קובע כי $P (| X | \geq C) \leq \frac{E (X^{2})}{C^{2}}$ . אי-שוויון קאנטלי הוא גרסה חד צדדית של אי-שוויון צ'בישב.

הוכחת אי-שוויון צ'בישב

על פי ההגדרה: $E (f^{2}) = \int_{Ω} f^{2} (ω) d P (ω)$ . אם נבצע אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן $| f (ω) | \geq C$ נקבל גודל קטן יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

$\int_{Ω} f^{2} (ω) d P (ω) \geq \int_{{ω : | f (ω) | \geq C}} f^{2} (ω) d P (ω) \geq \int_{{ω : | f (ω) | \geq C}} C^{2} d P (ω) = C^{2} P (| f | \geq C)$