תת-מרחב שמור
באלגברה ליניארית תת-מרחב שמור של העתקה ליניארית $ T $, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה $ T $ שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. תת-מרחב כזה נקרא גם "תת-מרחב $ T $ אינווריאנטי".
אם $ W $ תת-מרחב שמור של $ T $ אז ניתן לצמצם את $ T $ לתת-המרחב $ W $ ולקבל: $ {T|}_{W}\colon W\to W $
הגדרה
יהי $ W $ תת-מרחב ב-$ V $ ותהי :$ T:V\to V $ העתקה ליניארית. נאמר ש $ W $ תת-מרחב שמור $ T $ של $ V $ אם $ \ T(W)\subseteq W $.
תהי $ A $ מטריצה ריבועית מסדר $ n $ מעל שדה $ \ \mathbb {F} $. נאמר ש- $ W $ הוא תת-מרחב שמור $ A $ של $ \ \mathbb {F} ^{n} $ אם לכל $ \ w\in W $ מתקיים $ Aw\in W $.
דוגמה פשוטה
נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא: $ T(x,y,z)=(x+2y+z,3x+4y-z,5z) $ אזי תת-המרחב $ W:=\operatorname {span} \{(1,0,0),(0,1,0)\} $ הוא תת-מרחב שמור $ T $, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של $ T $ עליו באופן הבא: $ {T|}_{W}(x,y)=(x+2y,3x+4y) $.
דוגמאות נוספות
יהי $ V $ מרחב וקטורי ו$ T:V\to V $ העתקה ליניארית, אזי:
- $ V $ עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי $ T $.
- אם $ \lambda $ ערך עצמי של $ T $, אזי המרחב העצמי של $ \lambda $ הוא שמור $ T $.
- $ \mathrm {Im} T $ וגם $ \mathrm {Ker} T $ תתי-מרחב שמורי $ T $.
תכונות
משפט הפירוק היסודי (פרימרי)
יהי $ V $ מרחב וקטורי בעל ממד סופי, $ T:V\to V $ העתקה ליניארית ויהי $ p $ הפולינום המינימלי של $ T $, נוכל להציג את $ p $ כמכפלה של גורמים אי פריקים $ \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{r_{i}} $.
אזי $ V=Ker~{p_{1}}^{r_{1}}\oplus \cdots \oplus Ker~{p_{n}}^{r_{n}} $ פירוק ישר של $ V $ לתתי-מרחב שמורי $ T $.
בנוסף אם $ T $ לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של $ T $.
פעולות על המרחב
יהי $ U,W $ תתי-מרחב שמורים $ T $ של $ V $, אזי:
- $ U\cap W $ תת-מרחב שמור $ T $.
- $ U\oplus W $ תת-מרחב שמור $ T $.
- אם $ W $ מרחב עצמי של $ T $, אזי כל תת-מרחב של $ W $, הוא תת-מרחב שמור $ T $.
תת-מרחב ציקלי
יהי $ v\in V $ וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו$ T:V\to V $ העתקה ליניארית. אזי קיים $ k $ מקסימלי, כך ש $ B=\{v,Tv,T^{2}v,...,T^{k-1}v\} $ קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.
תת-המרחב $ W $ אשר $ B $ הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של $ V $ ביחס ל-$ T $ ול-$ v $, והוא תת-מרחב שמור ה$ T $ הקטן ביותר המכיל את $ v $.
הטלות
ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)
יהי $ V $ מרחב וקטורי בעל ממד $ n $ המחולק לסכום ישר של $ k\leq n $ תתי-מרחב, לכל תת-מרחב $ W_{i} $ נצמיד הטלה $ E_{i} $, אזי $ W_{i} $ הם שמורי $ T $ אם ורק אם $ TE_{i}=E_{i}T $ לכל $ i $.
תת-מרחב שמור31519684Q2706744