תת-מרחב שמור

באלגברה ליניארית תת-מרחב שמור של העתקה ליניארית $T$, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה $T$ שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. תת-מרחב כזה נקרא גם "תת-מרחב $T$ אינווריאנטי".

אם $W$ תת-מרחב שמור של $T$ אז ניתן לצמצם את $T$ לתת-המרחב $W$ ולקבל: ${T|}_W:W\to W$

הגדרה

יהי $W$ תת-מרחב ב-$V$ ותהי :$T:V\to V$ העתקה ליניארית. נאמר ש $W$ תת-מרחב שמור $T$ של $V$ אם $T(W)\subseteq W$.

תהי $A$ מטריצה ריבועית מסדר $n$ מעל שדה $\mathbb{𝔽}$. נאמר ש- $W$ הוא תת-מרחב שמור $A$ של ${\mathbb{𝔽}}^n$ אם לכל $w\in W$ מתקיים $Aw\in W$.

דוגמה פשוטה

נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא: $T(x,y,z)=(x+2y+z,3x+4y-z,5z)$ אזי תת-המרחב $W:=\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ הוא תת-מרחב שמור $T$, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של $T$ עליו באופן הבא: ${T|}_W(x,y)=(x+2y,3x+4y)$.

דוגמאות נוספות

יהי $V$ מרחב וקטורי ו$T:V\to V$ העתקה ליניארית, אזי:

1. $V$ עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי $T$.
2. אם $\lambda$ ערך עצמי של $T$, אזי המרחב העצמי של $\lambda$ הוא שמור $T$.
3. $\mathrm{I}\mathrm{m}T$ וגם $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}T$ תתי-מרחב שמורי $T$.

תכונות

משפט הפירוק היסודי (פרימרי)

יהי $V$ מרחב וקטורי בעל ממד סופי, $T:V\to V$ העתקה ליניארית ויהי $p$ הפולינום המינימלי של $T$, נוכל להציג את $p$ כמכפלה של גורמים אי פריקים $\prod _{i=1}^n{p}_i^{r_i}$.

אזי $V=Ker{p_1}^{r_1}\oplus \cdots \oplus Ker{p_n}^{r_n}$ פירוק ישר של $V$ לתתי-מרחב שמורי $T$.

בנוסף אם $T$ לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של $T$.

פעולות על המרחב

יהי $U,W$ תתי-מרחב שמורים $T$ של $V$, אזי:

• $U\cap W$ תת-מרחב שמור $T$.
• $U\oplus W$ תת-מרחב שמור $T$.
• אם $W$ מרחב עצמי של $T$, אזי כל תת-מרחב של $W$, הוא תת-מרחב שמור $T$.

תת-מרחב ציקלי

יהי $v\in V$ וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו$T:V\to V$ העתקה ליניארית. אזי קיים $k$ מקסימלי, כך ש $B=\{v,Tv,T^{2}v,...,T^{k-1}v\}$ קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב $W$ אשר $B$ הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של $V$ ביחס ל-$T$ ול-$v$, והוא תת-מרחב שמור ה$T$ הקטן ביותר המכיל את $v$.

הטלות

ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי $V$ מרחב וקטורי בעל ממד $n$ המחולק לסכום ישר של $k\le n$ תתי-מרחב, לכל תת-מרחב $W_i$ נצמיד הטלה $E_i$, אזי $W_i$ הם שמורי $T$ אם ורק אם $T{E}_i=E_{i}T$ לכל $i$.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תת-מרחב שמור31519684Q2706744